Gọi $A$ thuộc đồ thị hàm số bằng $y={{\log }_{2}}x$, $B$ thuộc đồ...

Ta có $A$ thuộc $y={{\log }_{2}}x$ nên tọa độ điểm $A$ có dạng $\left( x;\ {{\log }_{2}}x \right)$.
$B$ thuộc $y={{\log }_{4}}x$ nên tọa độ điểm $B$ có dạng $\left( {{x}_{1}};\ {{\log }_{4}}{{x}_{1}} \right)$.
Với điều kiện $x>0\ ,\ {{x}_{1\ }}>0$
Theo bài $A$ là trung điểm của $OB$ nên$$
$\left\{ \begin{matrix}
2x={{x}_{1}} \\
2{{\log }_{2}}x={{\log }_{4}}{{x}_{1}} \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \right.\left\{ \begin{matrix}
2x={{x}_{1}} \\
4{{\log }_{2}}x={{\log }_{2}}{{x}_{1}} \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \right.\left\{ \begin{matrix}
2x={{x}_{1}} \\
{{\log }_{2}}{{x}^{4}}={{\log }_{2}}{{x}_{1}} \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \right.\left\{ \begin{matrix}
2x={{x}_{1}} \\
{{x}^{4}}={{x}_{1}} \\
\end{matrix} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
2x={{x}_{1}} \\
{{x}^{4}}=2x \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=\sqrt[3]{2} \\
\end{matrix} \right. $. Vì $ x>0\Rightarrow x=\sqrt[3]{2}$.