Google
Câu hỏi: Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc A. Tính xác suất để số tự nhiên được chọn chia hết cho 45
A. $\dfrac{2}{81}$
B. $\dfrac{53}{2268}$
C. $\dfrac{1}{36}$
D. $\dfrac{5}{162}$
A. $\dfrac{2}{81}$
B. $\dfrac{53}{2268}$
C. $\dfrac{1}{36}$
D. $\dfrac{5}{162}$
Số phần tử của không gian mẫu là: $9.A_{9}^{7}$
Xét các số có 8 chữ số và chia hết cho 45 có dạng $A=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}.....{{a}_{8}}}$
Khi đó A chia hết cho 9 và 5 nên ${{a}_{8}}=\left\{ 0;5 \right\}$ và $\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+....+{{a}_{8}} \right)\vdots 9$
Mặt khác $0+1+2+....+9=45$ chia hết cho 9 suy ra A là số tự nhiên không chứa các cặp số $\left\{ \left( 0;9 \right);\left( 1;8 \right);\left( 2;7 \right);\left( 3;6 \right);\left( 4;5 \right) \right\}$
▪ TH1: Số A không chứa cặp số $\left\{ \left( 1;8 \right);\left( 2;7 \right);\left( 3;6 \right) \right\}$
Với ${{a}_{8}}=0\Rightarrow $ có $7!$ cách chọn $\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}}......{{a}_{8}} \right\}$, với ${{a}_{8}}=5\Rightarrow $ có $6.6!$ cách chọn $\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}}......{{a}_{8}} \right\}$.
Vậy trong trường hợp này có: $3.\left( 7!+6.6! \right)=28080$ số.
▪ TH2: Số A không chứa cặp số $\left( 0;9 \right)\Rightarrow {{a}_{8}}=5\Rightarrow $ có $7!$ cách chọn $\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}}......{{a}_{8}} \right\}$.
▪ TH3: Số A không chứa cặp số $\left( 4;5 \right)\Rightarrow {{a}_{8}}=0\Rightarrow $ có $7!$ cách chọn $\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}}......{{a}_{8}} \right\}$.
Vậy có $28080+\left( 7! \right)+\left( 7! \right)=38160$ số có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 45
Vậy xác suất cần tìm là: $P=\dfrac{38160}{9.A_{9}^{7}}=\dfrac{53}{2268}$.
Xét các số có 8 chữ số và chia hết cho 45 có dạng $A=\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}.....{{a}_{8}}}$
Khi đó A chia hết cho 9 và 5 nên ${{a}_{8}}=\left\{ 0;5 \right\}$ và $\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+....+{{a}_{8}} \right)\vdots 9$
Mặt khác $0+1+2+....+9=45$ chia hết cho 9 suy ra A là số tự nhiên không chứa các cặp số $\left\{ \left( 0;9 \right);\left( 1;8 \right);\left( 2;7 \right);\left( 3;6 \right);\left( 4;5 \right) \right\}$
▪ TH1: Số A không chứa cặp số $\left\{ \left( 1;8 \right);\left( 2;7 \right);\left( 3;6 \right) \right\}$
Với ${{a}_{8}}=0\Rightarrow $ có $7!$ cách chọn $\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}}......{{a}_{8}} \right\}$, với ${{a}_{8}}=5\Rightarrow $ có $6.6!$ cách chọn $\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}}......{{a}_{8}} \right\}$.
Vậy trong trường hợp này có: $3.\left( 7!+6.6! \right)=28080$ số.
▪ TH2: Số A không chứa cặp số $\left( 0;9 \right)\Rightarrow {{a}_{8}}=5\Rightarrow $ có $7!$ cách chọn $\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}}......{{a}_{8}} \right\}$.
▪ TH3: Số A không chứa cặp số $\left( 4;5 \right)\Rightarrow {{a}_{8}}=0\Rightarrow $ có $7!$ cách chọn $\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}}......{{a}_{8}} \right\}$.
Vậy có $28080+\left( 7! \right)+\left( 7! \right)=38160$ số có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 45
Vậy xác suất cần tìm là: $P=\dfrac{38160}{9.A_{9}^{7}}=\dfrac{53}{2268}$.
Đáp án B.