Google
Câu hỏi: Gọi $a$ là số thực lớn nhất để bất phương trình $x^2-x+2+a \ln \left(x^2-x+1\right) \geq 0$ nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $a \in(2 ; 3]$
B. $a \in(6 ; 7]$
C. $a \in(8 ;+\infty)$
D. $a \in(-6 ;-5]$
A. $a \in(2 ; 3]$
B. $a \in(6 ; 7]$
C. $a \in(8 ;+\infty)$
D. $a \in(-6 ;-5]$
Đ๐t $t={{x}^{2}}-x+1=\left( x-\dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{3}{4}\ge \dfrac{3}{4},\ \left( t\ge \dfrac{3}{4} \right)$.
Ta có: ${{x}^{2}}-x+2+a\ln \left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+1+1+a\ln \left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\ge 0$.
Đặt $t={{x}^{2}}-x+1=\left( x-\dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{3}{4}\ge \dfrac{3}{4},\ \left( t\ge \dfrac{3}{4} \right)$.
Ta được bất phương trình $t+1+a\ln t\ge 0\ \left( 2 \right),\ \left( t\ge \dfrac{3}{4} \right).$
Đặt $f\left( t \right)=t+1+a\ln t\ge 0\Rightarrow {f}'\left( t \right)=1+\dfrac{a}{t}>0,\ \forall t\ge \dfrac{3}{4}.$
Do đó để bất phương trình (2) nghiệm đúng $\forall t\ge \dfrac{3}{4}$ điều kiện là $f\left( \dfrac{3}{4} \right)\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{7}{4}+a\ln \dfrac{3}{4}\ge 0\Leftrightarrow a\le \dfrac{-7}{4\ln \dfrac{3}{4}}\approx 6.09.$
Ta có: ${{x}^{2}}-x+2+a\ln \left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+1+1+a\ln \left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\ge 0$.
Đặt $t={{x}^{2}}-x+1=\left( x-\dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{3}{4}\ge \dfrac{3}{4},\ \left( t\ge \dfrac{3}{4} \right)$.
Ta được bất phương trình $t+1+a\ln t\ge 0\ \left( 2 \right),\ \left( t\ge \dfrac{3}{4} \right).$
Đặt $f\left( t \right)=t+1+a\ln t\ge 0\Rightarrow {f}'\left( t \right)=1+\dfrac{a}{t}>0,\ \forall t\ge \dfrac{3}{4}.$
Do đó để bất phương trình (2) nghiệm đúng $\forall t\ge \dfrac{3}{4}$ điều kiện là $f\left( \dfrac{3}{4} \right)\ge 0\Leftrightarrow \dfrac{7}{4}+a\ln \dfrac{3}{4}\ge 0\Leftrightarrow a\le \dfrac{-7}{4\ln \dfrac{3}{4}}\approx 6.09.$
Đáp án B.