Google
Câu hỏi: Gọi a là hệ số không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn
${{\left( {{x}^{2}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{n}}+C_{n}^{1}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{n-1}}\left( \dfrac{-2}{\sqrt{x}} \right)+...+C_{n}^{n-1}\left( {{x}^{2}} \right){{\left( \dfrac{-2}{\sqrt{x}} \right)}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{\left( \dfrac{-2}{\sqrt{x}} \right)}^{n}}\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$
Biết rằng trong khai triển trên tổng hệ số của ba số hạng đầu bằng 161. Tìm a.
A. $a=11520$
B. $a=11250$
C. $a=12150$
D. $a=10125$
${{\left( {{x}^{2}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{n}}=C_{n}^{0}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{n}}+C_{n}^{1}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{n-1}}\left( \dfrac{-2}{\sqrt{x}} \right)+...+C_{n}^{n-1}\left( {{x}^{2}} \right){{\left( \dfrac{-2}{\sqrt{x}} \right)}^{n-1}}+C_{n}^{n}{{\left( \dfrac{-2}{\sqrt{x}} \right)}^{n}}\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right)$
Biết rằng trong khai triển trên tổng hệ số của ba số hạng đầu bằng 161. Tìm a.
A. $a=11520$
B. $a=11250$
C. $a=12150$
D. $a=10125$
Ta có hệ số của số hạng thứ k trong khai triển là: $C_{n}^{k-1}.{{(-2)}^{k-1}}$.
Suy ra hệ số của 3 số hạng đầu lần lượt là: $C_{n}^{0};-2C_{n}^{1}$ và ${{(-2)}^{2}}C_{n}^{2}$.
Do tổng hệ số ba số hạng đầu bằng 161 nên ta có: $C_{n}^{0}-2C_{n}^{1}+{{(-2)}^{2}}C_{n}^{2}=161$
$\Leftrightarrow 1-2n+4\dfrac{n(n-1)}{2}=161\Leftrightarrow {{n}^{2}}-2n-80=0\Leftrightarrow n=10$ hoặc $n=-8$ (loại).
Với $n=10$, ta có:
${{\left( {{x}^{2}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{n}}={{\left( {{x}^{2}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{10-k}}{{\left( -\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{(-2)}^{k}}{{x}^{\dfrac{40-5k}{2}}}}$.
Khi đó hệ số không chứa x trong khai triển thỏa mãn: $\dfrac{40-5k}{2}=0\Leftrightarrow k=8$.
Vậy hệ số không chứa x trong khai triển là: $a=C_{10}^{8}{{(-2)}^{8}}=11520$.
Suy ra hệ số của 3 số hạng đầu lần lượt là: $C_{n}^{0};-2C_{n}^{1}$ và ${{(-2)}^{2}}C_{n}^{2}$.
Do tổng hệ số ba số hạng đầu bằng 161 nên ta có: $C_{n}^{0}-2C_{n}^{1}+{{(-2)}^{2}}C_{n}^{2}=161$
$\Leftrightarrow 1-2n+4\dfrac{n(n-1)}{2}=161\Leftrightarrow {{n}^{2}}-2n-80=0\Leftrightarrow n=10$ hoặc $n=-8$ (loại).
Với $n=10$, ta có:
${{\left( {{x}^{2}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{n}}={{\left( {{x}^{2}}-\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{10-k}}{{\left( -\dfrac{2}{\sqrt{x}} \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{(-2)}^{k}}{{x}^{\dfrac{40-5k}{2}}}}$.
Khi đó hệ số không chứa x trong khai triển thỏa mãn: $\dfrac{40-5k}{2}=0\Leftrightarrow k=8$.
Vậy hệ số không chứa x trong khai triển là: $a=C_{10}^{8}{{(-2)}^{8}}=11520$.
Đáp án A.