Google
Câu hỏi: Gọi a là giá trị nhỏ nhất của $f(n)=\dfrac{\left( {{\log }_{3}}2 \right)\left( {{\log }_{3}}3 \right)\left( {{\log }_{3}}4 \right)...\left( {{\log }_{3}}n \right)}{{{9}^{n}}}$, với $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$. Có bao nhiêu số n để $f(n)=a$ ?
A. 2
B. vô số
C. 1
D. 4
A. 2
B. vô số
C. 1
D. 4
Ta có $f(n+1)=f(n).\dfrac{{{\log }_{3}}(n+1)}{9},f(n)=f(n-1).\dfrac{{{\log }_{3}}n}{9}$. Do a là giá trị nhỏ nhất của $f(n)$ nên $f(n)=a$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f(n)\le f(n+1) \\
& f(n)\le f(n-1) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f(n)\le f(n).\dfrac{{{\log }_{3}}(n+1)}{9} \\
& f(n-1).\dfrac{{{\log }_{3}}n}{9}\le f(n-1) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}(n+1)\ge 9 \\
& {{\log }_{3}}n\le 9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{3}^{9}}-1\le n\le {{3}^{9}}$.
Vậy có 2 giá trị của n thỏa yêu cầu bài toán.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f(n)\le f(n+1) \\
& f(n)\le f(n-1) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f(n)\le f(n).\dfrac{{{\log }_{3}}(n+1)}{9} \\
& f(n-1).\dfrac{{{\log }_{3}}n}{9}\le f(n-1) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}(n+1)\ge 9 \\
& {{\log }_{3}}n\le 9 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{3}^{9}}-1\le n\le {{3}^{9}}$.
Vậy có 2 giá trị của n thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án A.