Google
Câu hỏi: Gọi $A$ là điểm có hoành độ bằng 1 thuộc đồ thị $\left( C \right)$ của hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+m$ (với $m$ là tham số thực). Ta luôn tìm được một giá trị $m=\dfrac{a}{b}$ (với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản) để tiếp tuyến $\Delta $ của đồ thị $\left( C \right)$ cắt $A$ tại đường tròn $\left( T \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y-3=0$ tạo thành một dây cung có độ dài nhỏ nhất. Khi đó $a-b$ bằng:
A. $-13$
B. 3
C. 29
D. $-3$
Đường tròn $\left( T \right)$ có tâm $I\left( 0;1 \right)$ và bán kính $R=2$
$\left\{ \begin{aligned}
& E\in \left( C \right) \\
& {{x}_{E}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow E\left( 1;1-m \right)$
${y}'=4{{x}^{3}}-4mx\Rightarrow k={y}'\left( 1 \right)=4\left( 1-m \right)$
Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $E$ là
$\Delta :y=4\left( 1-m \right)\left( x-1 \right)+1-m$
Đặt $t=1-m\Leftrightarrow m=1-t$
$\Rightarrow \Delta :y=4t\left( x-1 \right)+t\Leftrightarrow \Delta :4tx-y-3t=0$
Gọi $H$ là trung điểm của dây cung $AB$
Cách 1:
$IH=d\left( I;\Delta \right)=\dfrac{\left| 3t+1 \right|}{\sqrt{16{{t}^{2}}+1}}$
$AB=2AH=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}$
$AB\min \Leftrightarrow IH\max $
Ta có: $IH=\dfrac{\left| 3t+1 \right|}{\sqrt{16{{t}^{2}}+1}}=\dfrac{\left| \dfrac{3}{4}.4t+1.1 \right|}{\sqrt{16{{t}^{2}}+1}}\overset{B.C.S}{\mathop{\le }} \dfrac{\sqrt{\left( \dfrac{9}{16}+1 \right)\left( 16{{t}^{2}}+1 \right)}}{\sqrt{16{{t}^{2}}+1}}=\dfrac{5}{4}$
Như vậy $AB\min \Leftrightarrow \max IH=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow \dfrac{4t}{3/4}=\dfrac{1}{1}\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{16}\Leftrightarrow m=\dfrac{13}{16}\equiv \dfrac{a}{b}$
$\Rightarrow a=13;b=16\Rightarrow a-b=-3$
Cách 2:
Ta có $\Delta :4tx-y-3t=0\Leftrightarrow \Delta :\left( 4x-3 \right)t-y=0$
Dễ thấy $\Delta $ luôn đi qua điểm cố định là $M\left( \dfrac{3}{4};0 \right)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;4t \right)$
$\overrightarrow{IM}=\left( \dfrac{3}{4};-1 \right)\Rightarrow IM=\dfrac{5}{4}<R\Rightarrow M$ thuộc miền trong của đường tròn
Ta có: $AB=2AH=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}\Rightarrow AB\min \Leftrightarrow IH\max $
Trong tam giác vuông $HIM$ ta thấy: $IH\le IM$
$\Rightarrow \max IH=IM=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow H\equiv M\Leftrightarrow IM\bot \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}-4t=0$
$\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{16}\Leftrightarrow m=\dfrac{13}{16}$
A. $-13$
B. 3
C. 29
D. $-3$
Đường tròn $\left( T \right)$ có tâm $I\left( 0;1 \right)$ và bán kính $R=2$
$\left\{ \begin{aligned}
& E\in \left( C \right) \\
& {{x}_{E}}=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow E\left( 1;1-m \right)$
${y}'=4{{x}^{3}}-4mx\Rightarrow k={y}'\left( 1 \right)=4\left( 1-m \right)$
Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $E$ là
$\Delta :y=4\left( 1-m \right)\left( x-1 \right)+1-m$
Đặt $t=1-m\Leftrightarrow m=1-t$
$\Rightarrow \Delta :y=4t\left( x-1 \right)+t\Leftrightarrow \Delta :4tx-y-3t=0$
Gọi $H$ là trung điểm của dây cung $AB$
Cách 1:
$IH=d\left( I;\Delta \right)=\dfrac{\left| 3t+1 \right|}{\sqrt{16{{t}^{2}}+1}}$
$AB=2AH=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}$
$AB\min \Leftrightarrow IH\max $
Ta có: $IH=\dfrac{\left| 3t+1 \right|}{\sqrt{16{{t}^{2}}+1}}=\dfrac{\left| \dfrac{3}{4}.4t+1.1 \right|}{\sqrt{16{{t}^{2}}+1}}\overset{B.C.S}{\mathop{\le }} \dfrac{\sqrt{\left( \dfrac{9}{16}+1 \right)\left( 16{{t}^{2}}+1 \right)}}{\sqrt{16{{t}^{2}}+1}}=\dfrac{5}{4}$
Như vậy $AB\min \Leftrightarrow \max IH=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow \dfrac{4t}{3/4}=\dfrac{1}{1}\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{16}\Leftrightarrow m=\dfrac{13}{16}\equiv \dfrac{a}{b}$
$\Rightarrow a=13;b=16\Rightarrow a-b=-3$
Cách 2:
Ta có $\Delta :4tx-y-3t=0\Leftrightarrow \Delta :\left( 4x-3 \right)t-y=0$
Dễ thấy $\Delta $ luôn đi qua điểm cố định là $M\left( \dfrac{3}{4};0 \right)$ và có VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 1;4t \right)$
$\overrightarrow{IM}=\left( \dfrac{3}{4};-1 \right)\Rightarrow IM=\dfrac{5}{4}<R\Rightarrow M$ thuộc miền trong của đường tròn
Ta có: $AB=2AH=2\sqrt{{{R}^{2}}-I{{H}^{2}}}\Rightarrow AB\min \Leftrightarrow IH\max $
Trong tam giác vuông $HIM$ ta thấy: $IH\le IM$
$\Rightarrow \max IH=IM=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow H\equiv M\Leftrightarrow IM\bot \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow{IM}.\overrightarrow{u}=0\Leftrightarrow \dfrac{3}{4}-4t=0$
$\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{16}\Leftrightarrow m=\dfrac{13}{16}$
Đáp án D.