Gọi A, B lần lượt là các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Gọi A, B lần lượt là các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

y = \frac{x^{2} + m^{2} + 2 m}{x - 2}

trên đoạn [3;4]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

A + B = \frac{19}{2} .

A.

m = 1; m = - 3.

B.

m = - 1; m = 3.

C.

m = \pm 3.

D.

m = - 4.

TXĐ:

D = R ∖ {2}

. Ta có:

y^{'} = \frac{- 2.1 - 1. (m^{2} + 2 m)}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{- m^{2} - 2 m - 2}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{- {(m + 1)}^{2} - 1}{{(x - 2)}^{2}} < 0 \forall x \in D

y^{'} < 0 \forall x \in [3; 4]

Hàm số đã cho nghịch biến trên [3;4]

\begin{aligned} \Rightarrow \underset{[3; 4]}{min y} = y (4) = \frac{m^{2} + 2 m + 4}{2}; max_{[3; 4]} y = y (3) = m^{2} + 2 m + 3 \\ \Rightarrow A = \frac{m^{2} + 2 m + 4}{2}; B = m^{2} + 2 m + 3 \end{aligned}

Theo đề bài ta có

A + B = \frac{19}{2} \Rightarrow \frac{m^{2} + 2 m + 4}{2} + m^{2} + 2 m + 3 = \frac{19}{2}

\Leftrightarrow \frac{m^{2} + 2 m + 4 + 2 m^{2} + 4 m + 6}{2} = \frac{19}{2} \Leftrightarrow 3 m^{2} + 6 m - 9 = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} m = 1 \\ m = - 3 \end{aligned}

Hàm phân thức bậc nhất trên đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.

Đáp án A.