Google
Câu hỏi: Gọi A, B lần lượt là các giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+{{m}^{2}}+2m}{x-2}$ trên đoạn [3;4]. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để $A+B=\dfrac{19}{2}.$
A. $m=1;m=-3.$
B. $m=-1;m=3.$
C. $m=\pm 3.$
D. $m=-4.$
A. $m=1;m=-3.$
B. $m=-1;m=3.$
C. $m=\pm 3.$
D. $m=-4.$
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$. Ta có:
$y'=\dfrac{-2.1-1.\left( {{m}^{2}}+2m \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{-{{m}^{2}}-2m-2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{-{{\left( m+1 \right)}^{2}}-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}<0 \forall x\in D$
$y'<0 \forall x\in [3;4]$ Hàm số đã cho nghịch biến trên [3;4]
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \underset{\!\![\!\!3;4]}{\mathop{\min y}} =y\left( 4 \right)=\dfrac{{{m}^{2}}+2m+4}{2}; \underset{\!\![\!\!3;4]}{\mathop{\max }} y=y\left( 3 \right)={{m}^{2}}+2m+3 \\
& \Rightarrow A=\dfrac{{{m}^{2}}+2m+4}{2};B={{m}^{2}}+2m+3 \\
\end{aligned}$
Theo đề bài ta có $A+B=\dfrac{19}{2}\Rightarrow \dfrac{{{m}^{2}}+2m+4}{2}+{{m}^{2}}+2m+3=\dfrac{19}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{2}}+2m+4+2{{m}^{2}}+4m+6}{2}=\dfrac{19}{2}\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}+6m-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-3 \\
\end{aligned} \right.$
Hàm phân thức bậc nhất trên đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.
$y'=\dfrac{-2.1-1.\left( {{m}^{2}}+2m \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{-{{m}^{2}}-2m-2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{-{{\left( m+1 \right)}^{2}}-1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}<0 \forall x\in D$
$y'<0 \forall x\in [3;4]$ Hàm số đã cho nghịch biến trên [3;4]
$\begin{aligned}
& \Rightarrow \underset{\!\![\!\!3;4]}{\mathop{\min y}} =y\left( 4 \right)=\dfrac{{{m}^{2}}+2m+4}{2}; \underset{\!\![\!\!3;4]}{\mathop{\max }} y=y\left( 3 \right)={{m}^{2}}+2m+3 \\
& \Rightarrow A=\dfrac{{{m}^{2}}+2m+4}{2};B={{m}^{2}}+2m+3 \\
\end{aligned}$
Theo đề bài ta có $A+B=\dfrac{19}{2}\Rightarrow \dfrac{{{m}^{2}}+2m+4}{2}+{{m}^{2}}+2m+3=\dfrac{19}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{m}^{2}}+2m+4+2{{m}^{2}}+4m+6}{2}=\dfrac{19}{2}\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}+6m-9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-3 \\
\end{aligned} \right.$
Hàm phân thức bậc nhất trên đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó.
Đáp án A.