Gọi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị $\left(...

Điều kiện: $x\ne 3.$
Ta có $y=\dfrac{x+3}{x-3}=1+\dfrac{6}{x-3}.$
Đồ thị hàm số $\left( C \right)$ có tiệm cận đứng $x=3$ và tiệm cận ngang $y=1.$
Suy ra tâm đối xứng của đồ thị $\left( C \right)$ là $I\left( 3;1 \right).$
Với $A,B\in \left( C \right)$ và A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị.
Để AB nhỏ nhất thì A; I; B thẳng hàng hay I là trung điểm của AB.
Gọi $A\left( {{x}_{A}};1+\dfrac{6}{{{x}_{A}}-3} \right);B\left( {{x}_{B}};1+\dfrac{6}{{{x}_{B}}-3} \right)$ thuộc đồ thị $\left( C \right)$.
Vì $I\left( 3;1 \right)$ là trung điểm của AB nên ${{x}_{A}}+{{x}_{B}}=2{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=6\Leftrightarrow {{x}_{B}}=6-{{x}_{A}}$
Suy ra $AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{6}{{{x}_{B}}-3}-\dfrac{6}{{{x}_{A}}-3} \right)}^{2}}}$
$=\sqrt{{{\left( 6-2{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{6}{3-{{x}_{A}}}-\dfrac{6}{{{x}_{A}}-3} \right)}^{2}}}=\sqrt{4{{\left( {{x}_{A}}-3 \right)}^{2}}+\dfrac{144}{{{\left( {{x}_{A}}-3 \right)}^{2}}}}$
Ta có $A{{B}^{2}}=4{{\left( {{x}_{A}}-3 \right)}^{2}}+\dfrac{144}{{{\left( {{x}_{A}}-3 \right)}^{2}}}\ge 2\sqrt{4{{\left( {{x}_{A}}-3 \right)}^{2}}.\dfrac{144}{{{\left( {{x}_{A}}-3 \right)}^{2}}}}=48$ (áp dụng BĐT Côsi)
Suy ra $A{{B}_{\min }}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\Leftrightarrow 4{{\left( {{x}_{A}}-3 \right)}^{2}}=\dfrac{144}{{{\left( {{x}_{A}}-3 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( x{_{A}}-3 \right)}^{4}}=36\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}=3+\sqrt{6} \\
& {{x}_{A}}=3-\sqrt{6} \\
\end{aligned} \right..$