Gọi A, B là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau trên đồ thị $\left(...

Điều kiện: $x\ne 3.$
Ta có $y={\displaystyle \frac{x+3}{x-3}}=1+{\displaystyle \frac{6}{x-3}}.$
Đồ thị hàm số $\left(C\right)$ có tiệm cận đứng $x=3$ và tiệm cận ngang $y=1.$
Suy ra tâm đối xứng của đồ thị $\left(C\right)$ là $I(3;1).$
Với $A,B\in \left(C\right)$ và A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị.
Để AB nhỏ nhất thì A; I; B thẳng hàng hay I là trung điểm của AB.
Gọi $A(x_A;1+{\displaystyle \frac{6}{x_A-3}});B(x_B;1+{\displaystyle \frac{6}{x_B-3}})$ thuộc đồ thị $\left(C\right)$.
Vì $I(3;1)$ là trung điểm của AB nên $x_A+x_B=2x_1\iff x_A+x_B=6\iff x_B=6-x_A$
Suy ra $AB=\sqrt{{(x_B-x_A)}^2+{({\displaystyle \frac{6}{x_B-3}}-{\displaystyle \frac{6}{x_A-3}})}^2}$
$=\sqrt{{(6-2x_A)}^2+{({\displaystyle \frac{6}{3-x_A}}-{\displaystyle \frac{6}{x_A-3}})}^2}=\sqrt{4{(x_A-3)}^2+{\displaystyle \frac{144}{{(x_A-3)}^2}}}$
Ta có $A{B}^2=4{(x_A-3)}^2+{\displaystyle \frac{144}{{(x_A-3)}^2}}\ge 2\sqrt{4{(x_A-3)}^2.{\displaystyle \frac{144}{{(x_A-3)}^2}}}=48$ (áp dụng BĐT Côsi)
Suy ra $A{B}_{min}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\iff 4{(x_A-3)}^2={\displaystyle \frac{144}{{(x_A-3)}^2}}\iff {(x{}_A-3)}^4=36\Rightarrow [\begin{array}{rl}& x_A=3+\sqrt{6}\\ & x_A=3-\sqrt{6}\end{array}.$