Google
Câu hỏi: Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+m-3$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -5;100 \right]$ để tam giác OAB có góc AOB không tù ( O là gốc tọa độ)?
A. $102$.
B. $101$
C. $100$
D. $103$
A. $102$.
B. $101$
C. $100$
D. $103$
Ta có ${y}'=3{{x}^{2}}+6x$. Từ đó ${y}'=3{{x}^{2}}+6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $A\left( 0;m-3 \right); B\left( -2;m+1 \right); O{{A}^{2}}={{\left( m-3 \right)}^{2}}; O{{B}^{2}}=4+{{\left( m+1 \right)}^{2}}; A{{B}^{2}}=20$
Khi đó để tam giác OAB có góc AOB không tù thì
$\cos \widehat{AOB}=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.OA.OB}\ge 0\Leftrightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m-6\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m\ge 3 \\
\end{aligned} \right.$
Lại có $m\in \left[ -5;100 \right]$ suy ra $m\in \left\{ -5;-4;...;-1;3;4;...;100 \right\}$. Vậy có 103 giá trị của m.
& x=0 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $A\left( 0;m-3 \right); B\left( -2;m+1 \right); O{{A}^{2}}={{\left( m-3 \right)}^{2}}; O{{B}^{2}}=4+{{\left( m+1 \right)}^{2}}; A{{B}^{2}}=20$
Khi đó để tam giác OAB có góc AOB không tù thì
$\cos \widehat{AOB}=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.OA.OB}\ge 0\Leftrightarrow O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m-6\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m\le -1 \\
& m\ge 3 \\
\end{aligned} \right.$
Lại có $m\in \left[ -5;100 \right]$ suy ra $m\in \left\{ -5;-4;...;-1;3;4;...;100 \right\}$. Vậy có 103 giá trị của m.
Đáp án D.