Google
Câu hỏi: Gọi $a,b$ là các số hữu tỉ sao cho $\int_{0}^{1}{\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}+1}dx}=a\ln 2+b\pi $. Giá trị của tích $ab$ bằng
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{1}{4}$.
C. $\dfrac{1}{8}$.
D. $\dfrac{1}{6}$.
Đặt $x=\tan t$ $\Rightarrow dx=\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)dt$
Đổi cận: $\begin{matrix}
x & 0 & 1 \\
t & 0 & \dfrac{\pi }{4} \\
\end{matrix}$
$I=\int_{0}^{1}{\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}+1}dx}=\int_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{\left( \tan t+1 \right)\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)}{1+{{\tan }^{2}}t}dt}=\int_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( \tan t+1 \right)dt}$
$=\left. \left( -\ln \left| \cos x \right|+x \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}=-\ln \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{1}{2}\ln 2+\dfrac{\pi }{4}$
Vậy $a=\dfrac{1}{2};b=\dfrac{1}{4}$ và $ab=\dfrac{1}{8}$
A. $\dfrac{1}{2}$.
B. $\dfrac{1}{4}$.
C. $\dfrac{1}{8}$.
D. $\dfrac{1}{6}$.
Đặt $x=\tan t$ $\Rightarrow dx=\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)dt$
Đổi cận: $\begin{matrix}
x & 0 & 1 \\
t & 0 & \dfrac{\pi }{4} \\
\end{matrix}$
$I=\int_{0}^{1}{\dfrac{x+1}{{{x}^{2}}+1}dx}=\int_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\dfrac{\left( \tan t+1 \right)\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)}{1+{{\tan }^{2}}t}dt}=\int_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{\left( \tan t+1 \right)dt}$
$=\left. \left( -\ln \left| \cos x \right|+x \right) \right|_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}=-\ln \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{\pi }{4}=\dfrac{1}{2}\ln 2+\dfrac{\pi }{4}$
Vậy $a=\dfrac{1}{2};b=\dfrac{1}{4}$ và $ab=\dfrac{1}{8}$
Đáp án C.