Gọi A,B là 2 điểm lần lượt thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số...

Ta có $y=\dfrac{x-1+2}{x-1}=1+\dfrac{2}{x-1}$ và tiệm cận đứng là $x=1.$
Gọi $A\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),B\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ lần lượt là hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị với ${{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& a=1-{{x}_{1}}>0 \\
& b={{x}_{2}}-1>0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=1-a\xrightarrow{{}}{{y}_{1}}=1-\dfrac{1}{a} \\
& {{x}_{2}}=b+1\xrightarrow{{}}{{y}_{2}}=1+\dfrac{1}{b} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A\left( 1-a;1-\dfrac{1}{a} \right) \\
& B\left( b+1;1+\dfrac{1}{b} \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $\overrightarrow{AB}=\left( a+b;\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right)\Rightarrow A{{B}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \right)}^{2}}\ge 4ab+\dfrac{4}{ab}\ge 2\sqrt{4ab.\dfrac{4}{ab}}=8$
Vậy $A{{B}^{2}}\ge 8\Leftrightarrow AB\ge 2\sqrt{2}\xrightarrow{{}}A{{B}_{\min }}=2\sqrt{2}.$