Gọi A,B là 2 điểm lần lượt thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Gọi A,B là 2 điểm lần lượt thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số

y = \frac{x + 1}{x - 1} (C)

. Tìm khoáng cách ngắn nhất giữa hai điểm A, B
A. 16
B.

2 \sqrt{2}

C. 2
D. 4

Ta có

y = \frac{x - 1 + 2}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}

và tiệm cận đứng là

x = 1.

Gọi

A (x_{1}; y_{1}), B (x_{2}; y_{2})

lần lượt là hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị với

x_{1} < 1 < x_{2}

Đặt

{\begin{aligned} a = 1 - x_{1} > 0 \\ b = x_{2} - 1 > 0 \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} x_{1} = 1 - a \overset{}{\to} y_{1} = 1 - \frac{1}{a} \\ x_{2} = b + 1 \overset{}{\to} y_{2} = 1 + \frac{1}{b} \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} A (1 - a; 1 - \frac{1}{a}) \\ B (b + 1; 1 + \frac{1}{b}) \end{aligned}

Do đó

\vec{A B} = (a + b; \frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \Rightarrow A B^{2} = {(a + b)}^{2} + {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{2} \geq 4 a b + \frac{4}{a b} \geq 2 \sqrt{4 a b . \frac{4}{a b}} = 8

Vậy

A B^{2} \geq 8 \Leftrightarrow A B \geq 2 \sqrt{2} \overset{}{\to} A B_{min} = 2 \sqrt{2} .

Đáp án B.