Google
Câu hỏi: Gọi $A,B,C$ là 3 điểm có hoành độ thỏa mãn ${{x}_{C}}={{x}_{A}}+{{x}_{B}}$ và tung độ bằng nhau, lần lượt thuộc đồ thị hàm số $y={{\log }_{9}}x,y={{\log }_{12}}x,y={{\log }_{15}}x.$ Tính độ dài đoạn thẳng $AB?$
A. 64
B. 62.
C. 65
D. 63
A. 64
B. 62.
C. 65
D. 63
Ta có ${{\log }_{9}}x={{\log }_{12}}x={{\log }_{15}}x.$ Đặt ${{\log }_{9}}{{x}_{A}}={{\log }_{12}}{{x}_{B}}={{\log }_{15}}{{x}_{C}}=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}={{9}^{t}} \\
& {{x}_{B}}={{12}^{t}} \\
& {{x}_{C}}={{15}^{t}} \\
\end{aligned} \right..$
Mà ${{x}_{C}}={{x}_{A}}+{{x}_{B}}\Leftrightarrow {{15}^{t}}={{9}^{t}}+{{12}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}=1.$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}$ với $t\in \mathbb{R}.$
$f\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{3}{5}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{4}{5}<0$ với $t\in \mathbb{R}.$
Hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}$ luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
Suy ra ${{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}=1$ có nhiều nhất 1 nghiệm. Nhận thấy $t=2$ là nghiệm duy nhất.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}=81\Rightarrow {{y}_{A}}=2 \\
& {{x}_{B}}=144\Rightarrow {{y}_{B}}=2 \\
\end{aligned} \right.. $ Vậy $ AB=\sqrt{{{\left( 144-81 \right)}^{2}}+{{\left( 2-2 \right)}^{2}}}=63.$
& {{x}_{A}}={{9}^{t}} \\
& {{x}_{B}}={{12}^{t}} \\
& {{x}_{C}}={{15}^{t}} \\
\end{aligned} \right..$
Mà ${{x}_{C}}={{x}_{A}}+{{x}_{B}}\Leftrightarrow {{15}^{t}}={{9}^{t}}+{{12}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}=1.$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}$ với $t\in \mathbb{R}.$
$f\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{3}{5}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{4}{5}<0$ với $t\in \mathbb{R}.$
Hàm số $f\left( t \right)={{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}$ luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
Suy ra ${{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}+{{\left( \dfrac{4}{5} \right)}^{t}}=1$ có nhiều nhất 1 nghiệm. Nhận thấy $t=2$ là nghiệm duy nhất.
Suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}=81\Rightarrow {{y}_{A}}=2 \\
& {{x}_{B}}=144\Rightarrow {{y}_{B}}=2 \\
\end{aligned} \right.. $ Vậy $ AB=\sqrt{{{\left( 144-81 \right)}^{2}}+{{\left( 2-2 \right)}^{2}}}=63.$
Đáp án D.