Google
Câu hỏi: Giới hạn $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{3}^{x}}-1}{x}$ bằng
A. $\text{e}$.
B. $1$.
C. $\ln 3$.
D. $3\text{e}$.
A. $\text{e}$.
B. $1$.
C. $\ln 3$.
D. $3\text{e}$.
Cách 1: Dùng kết quả $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{\text{e}}^{x}}-1}{x}=1$.
Ta có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{3}^{x}}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{\left( {{\text{e}}^{\ln 3}} \right)}^{x}}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{\text{e}}^{x\ln 3}}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{\text{e}}^{x\ln 3}}-1}{x\ln 3}.\ln 3=\ln 3$.
Cách 2: Dùng quy tắc L'Hôpital.
Ta có: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \left( {{3}^{x}}-1 \right)=0; \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} x=0$.
Mà $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{\left( {{3}^{x}}-1 \right)}^{\prime }}}{{{x}'}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \left( {{3}^{x}}\ln 3 \right)=\ln 3$.
Áp dụng quy tắc L'Hôpital:
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{3}^{x}}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{\left( {{3}^{x}}-1 \right)}^{\prime }}}{{{x}'}}=\ln 3$.
Ta có $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{3}^{x}}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{\left( {{\text{e}}^{\ln 3}} \right)}^{x}}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{\text{e}}^{x\ln 3}}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{\text{e}}^{x\ln 3}}-1}{x\ln 3}.\ln 3=\ln 3$.
Cách 2: Dùng quy tắc L'Hôpital.
Ta có: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \left( {{3}^{x}}-1 \right)=0; \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} x=0$.
Mà $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{\left( {{3}^{x}}-1 \right)}^{\prime }}}{{{x}'}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \left( {{3}^{x}}\ln 3 \right)=\ln 3$.
Áp dụng quy tắc L'Hôpital:
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{3}^{x}}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }} \dfrac{{{\left( {{3}^{x}}-1 \right)}^{\prime }}}{{{x}'}}=\ln 3$.
Đáp án C.