Câu hỏi: Một tổ có 8 học sinh gồm 4 nữ và 4 nam. Có bao nhiêu cách xếp các học sinh trong tổ:
a) Thành một hàng dọc?
b) Thành một hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau?
a) Thành một hàng dọc?
b) Thành một hàng dọc sao cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau?
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm số cách xếp n người theo hàng dọc theo hoán vị
Bước 2: Tìm số cách xếp 4 nam (hoặc 4 nữ) trước, khi đó giữa 2 nam (hoặc 2 nữ) tạo thành 1 chỗ trống
Bước 3: Sắp xếp 4 nam (hoặc 4 nữ) còn lại vào các chỗ trống được tạo thành rồi sử dụng quy tắc nhân
Lời giải chi tiết
a) Mỗi cách xếp thứ tự vị trí cho 8 học sinh trong tổ là một hoán vị của 8 phần tử.
Vậy số cách xếp 8 học sinh trong tổ thành một hàng dọc là: \({P_8} = 8! = 40320\) cách xếp
b) Trước tiên ta xếp 4 nữ thành một hàng dọc trước \( \Rightarrow \) Có 4! = 24 cách xếp
Cứ giữa 2 bạn nữ bất kì tạo thành 1 khoảng trống và có 1 khoảng trống trước bạn nữ đầu tiên hoặc 1 khoảng trống sau bạn nữ cuối cùng \( \Rightarrow \) mỗi trường hợp có tất cả 4 khoảng trống
TH1: Bạn nam đứng đầu
Ta xếp 4 bạn nam vào 4 khoảng trống (1 khoảng trống trước bạn nữ đầu tiên) thì có 4! cách xếp
TH2: Bạn nữ đứng đầu
Ta xếp 4 bạn nam vào 4 khoảng trống (1 khoảng trống sau bạn nữ cuối cùng) thì có 4! cách xếp
Vậy có tất cả 4!.4! + 4!.4! = 1 152 cách xếp thỏa mãn
Bước 1: Tìm số cách xếp n người theo hàng dọc theo hoán vị
Bước 2: Tìm số cách xếp 4 nam (hoặc 4 nữ) trước, khi đó giữa 2 nam (hoặc 2 nữ) tạo thành 1 chỗ trống
Bước 3: Sắp xếp 4 nam (hoặc 4 nữ) còn lại vào các chỗ trống được tạo thành rồi sử dụng quy tắc nhân
Lời giải chi tiết
a) Mỗi cách xếp thứ tự vị trí cho 8 học sinh trong tổ là một hoán vị của 8 phần tử.
Vậy số cách xếp 8 học sinh trong tổ thành một hàng dọc là: \({P_8} = 8! = 40320\) cách xếp
b) Trước tiên ta xếp 4 nữ thành một hàng dọc trước \( \Rightarrow \) Có 4! = 24 cách xếp
Cứ giữa 2 bạn nữ bất kì tạo thành 1 khoảng trống và có 1 khoảng trống trước bạn nữ đầu tiên hoặc 1 khoảng trống sau bạn nữ cuối cùng \( \Rightarrow \) mỗi trường hợp có tất cả 4 khoảng trống
TH1: Bạn nam đứng đầu
Ta xếp 4 bạn nam vào 4 khoảng trống (1 khoảng trống trước bạn nữ đầu tiên) thì có 4! cách xếp
TH2: Bạn nữ đứng đầu
Ta xếp 4 bạn nam vào 4 khoảng trống (1 khoảng trống sau bạn nữ cuối cùng) thì có 4! cách xếp
Vậy có tất cả 4!.4! + 4!.4! = 1 152 cách xếp thỏa mãn