Giá trị thực lớn hơn 1 của tham số m thỏa mãn...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Giá trị thực lớn hơn 1 của tham số m thỏa mãn

\int_{1}^{m} \ln^{2} x d x = m . \ln m (\ln m - 2) + 2^{1000}

là
A.

m = 2^{1000}

.
B.

m = 2^{1000} + 1

.
C.

m = 2^{999} + 1

.
D.

m = 2^{999} + 2

.

Đặt

{\begin{aligned} u = \ln^{2} x \\ d v = d x \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} d u = \frac{2 \ln x}{x} d x \\ v = x \end{aligned}

Khi đó

I = x . \ln^{2} x | \begin{aligned} m \\ 1 \end{aligned} - 2 \int_{1}^{m} \ln x d x = m . \ln^{2} m - 2 \int_{1}^{m} \ln x d x = m . \ln^{2} m - 2 J

.
Đặt

{\begin{aligned} u = \ln x \\ d v = d x \end{aligned} \Rightarrow {\begin{aligned} d u = \frac{1}{x} d x \\ v = x \end{aligned} \Rightarrow J = x . \ln x | \begin{aligned} m \\ 1 \end{aligned} - \int_{1}^{m} d x = m . \ln m - (m - 1)

Suy ra

I = m . \ln^{2} m - 2 m . \ln m + 2 (m - 1) = m . \ln m (\ln m - 2) + 2 (m - 1)

.
Theo bài ra ta có

\int_{1}^{m} \ln^{2} x d x = m . \ln m (\ln m - 2) + 2^{1000}

\Rightarrow m . \ln m (\ln m - 2) + 2 (m - 1) = m . \ln m (\ln m - 2) + 2^{1000}

\Leftrightarrow 2 (m - 1) = 2^{1000} \Leftrightarrow m - 1 = 2^{999} \Leftrightarrow m = 2^{999} + 1

.

Đáp án C.