Giá trị nhỏ nhất của $P = a^{2} + b^{2}$ để hàm số $f\left( x...

The Knowledge · 14/12/21

Câu hỏi: Giá trị nhỏ nhất của

P = a^{2} + b^{2}

để hàm số

f (x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + a x + 1

có đồ thị cắt trục hoành là
A.

P = \frac{5}{4}

B.

P = \frac{2}{5}

C.

P = \frac{5}{2}

D.

P = \frac{4}{5}

Xét phương trình:

x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + a x + 1 = 0 \Rightarrow {(x + \frac{1}{x})}^{2} + a (x + \frac{1}{x}) + b - 2 = 0 (x \neq 0)

.
Đặt

t = x + \frac{1}{x} (| t | \geq 2) \Rightarrow t^{2} + a t + b - 2 = 0

(*)
Xét đường thẳng

Δ : t x + y + t^{2} - 2 = 0 (| t | \geq 2)

và đường tròn

(C) : x^{2} + y^{2} = P

có tâm

O (0; 0)

, bán kính

R = \sqrt{P}

.
Để (*) có nghiệm thì Δ và

(C)

tiếp xúc hoặc cắt nhau:

\Leftrightarrow d_{(O, Δ)} \leq R \Leftrightarrow \frac{| t^{2} - 2 |}{\sqrt{t^{2} + 1}} \leq \sqrt{P} \Rightarrow P \geq \frac{{(t^{2} - 2)}^{2}}{t^{2} + 1} (| t | \geq 2); \frac{{(t^{2} - 2)}^{2}}{t^{2} + 1} = \frac{{(u - 3)}^{2}}{u} (u = t^{2} + 1 \geq 5)

.
Xét

f (u) = \frac{{(u - 3)}^{2}}{u}, u \geq 5 \Rightarrow f (u) \geq \frac{4}{5} \Rightarrow P \geq \frac{4}{5}

khi

u = 5 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \pm 2

.

Đáp án D.

Giá trị nhỏ nhất của P=a2+b2 để hàm số $f\left( x...