Google
Câu hỏi: Giá trị nhỏ nhất của $P={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ để hàm số $f\left( x \right)={{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+ax+1$ có đồ thị cắt trục hoành là
A. $P=\dfrac{5}{4}$
B. $P=\dfrac{2}{5}$
C. $P=\dfrac{5}{2}$
D. $P=\dfrac{4}{5}$
A. $P=\dfrac{5}{4}$
B. $P=\dfrac{2}{5}$
C. $P=\dfrac{5}{2}$
D. $P=\dfrac{4}{5}$
Xét phương trình: ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+ax+1=0\Rightarrow {{\left( x+\dfrac{1}{x} \right)}^{2}}+a\left( x+\dfrac{1}{x} \right)+b-2=0\left( x\ne 0 \right)$.
Đặt $t=x+\dfrac{1}{x}\left( \left| t \right|\ge 2 \right)\Rightarrow {{t}^{2}}+at+b-2=0$ (*)
Xét đường thẳng $\Delta :t\text{x}+y+{{t}^{2}}-2=0\left( \left| t \right|\ge 2 \right)$ và đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=P$ có tâm $O\left( 0;0 \right)$, bán kính $R=\sqrt{P}$.
Để (*) có nghiệm thì Δ và $\left( C \right)$ tiếp xúc hoặc cắt nhau:
$\Leftrightarrow {{d}_{\left( O,\Delta \right)}}\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| {{t}^{2}}-2 \right|}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}}\le \sqrt{P}\Rightarrow P\ge \dfrac{{{\left( {{t}^{2}}-2 \right)}^{2}}}{{{t}^{2}}+1}\left( \left| t \right|\ge 2 \right);\dfrac{{{\left( {{t}^{2}}-2 \right)}^{2}}}{{{t}^{2}}+1}=\dfrac{{{\left( u-3 \right)}^{2}}}{u}\left( u={{t}^{2}}+1\ge 5 \right)$.
Xét $f\left( u \right)=\dfrac{{{\left( u-3 \right)}^{2}}}{u},u\ge 5\Rightarrow f\left( u \right)\ge \dfrac{4}{5}\Rightarrow P\ge \dfrac{4}{5}$ khi $u=5\Rightarrow x+\dfrac{1}{x}=\pm 2$.
Đặt $t=x+\dfrac{1}{x}\left( \left| t \right|\ge 2 \right)\Rightarrow {{t}^{2}}+at+b-2=0$ (*)
Xét đường thẳng $\Delta :t\text{x}+y+{{t}^{2}}-2=0\left( \left| t \right|\ge 2 \right)$ và đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=P$ có tâm $O\left( 0;0 \right)$, bán kính $R=\sqrt{P}$.
Để (*) có nghiệm thì Δ và $\left( C \right)$ tiếp xúc hoặc cắt nhau:
$\Leftrightarrow {{d}_{\left( O,\Delta \right)}}\le R\Leftrightarrow \dfrac{\left| {{t}^{2}}-2 \right|}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}}\le \sqrt{P}\Rightarrow P\ge \dfrac{{{\left( {{t}^{2}}-2 \right)}^{2}}}{{{t}^{2}}+1}\left( \left| t \right|\ge 2 \right);\dfrac{{{\left( {{t}^{2}}-2 \right)}^{2}}}{{{t}^{2}}+1}=\dfrac{{{\left( u-3 \right)}^{2}}}{u}\left( u={{t}^{2}}+1\ge 5 \right)$.
Xét $f\left( u \right)=\dfrac{{{\left( u-3 \right)}^{2}}}{u},u\ge 5\Rightarrow f\left( u \right)\ge \dfrac{4}{5}\Rightarrow P\ge \dfrac{4}{5}$ khi $u=5\Rightarrow x+\dfrac{1}{x}=\pm 2$.
Đáp án D.