Giá trị nào của tổng $4 + 44 + 444 + . . . + 44. . .4$ (tổng đó có 2018 số...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Giá trị nào của tổng

4 + 44 + 444 + . . . + 44. . .4

(tổng đó có 2018 số hạng) bằng
A.

\frac{4}{9} (\frac{10^{2019} - 10}{9} - 2018)

.
B.

\frac{4}{9} (\frac{10^{2019} - 10}{9} + 2018)

.
C.

\frac{4}{9} (10^{2018} - 1)

.
D.

\frac{40}{9} (10^{2018} - 1) + 2018

.

Xét dãy số có

{\begin{aligned} u_{1} = 4 \\ u_{n + 1} = 10 u_{n} + 4 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} u_{1} = 4 \\ u_{n + 1} + \frac{4}{9} = 10 (u_{n} + \frac{4}{9}) \end{aligned}

Đặt

v_{n} = u_{n} + \frac{4}{9} \Rightarrow {\begin{aligned} v_{1} = \frac{40}{9} \\ v_{n + 1} = 10 v_{n} \end{aligned} \Rightarrow v (n)

là cấp số nhân.
Ta có:

S_{n} = u_{1} + u_{2} + . . . . . . + u_{2018} = v_{1} - \frac{4}{9} + v_{2} - \frac{v}{9} . . . + v_{2018} - \frac{4}{9} = v_{1} + v_{2} + . . . + v_{2018} - \frac{2018.4}{9}

Trong đó

S_{v (2018)} = \frac{1 - q^{n}}{1 - q} . v_{1} = \frac{1 - 10^{2018}}{1 - 10} . \frac{40}{9} = \frac{40. (10^{2018} - 1)}{81}

Vậy tổng là

S = \frac{40}{81} (10^{2018} - 1) - \frac{4}{9} .2018 = \frac{4}{9} (\frac{10^{2018} - 10}{9} - 2018)

.

Đáp án A.

Giá trị nào của tổng 4+44+444+...+44...4 (tổng đó có 2018 số...