R biến thiên Giá trị nào của R để công suất cực đại

A Tũn đã viết:

Bài toán:
Mạch điện gồm biến trở, cuộn dây, tụ điện mắc nối tiếp. Cuộn dây có độ tự cảm $L=\dfrac{1,4}{\pi}$ và điện trở hoạt động $r=30\Omega$, tụ điện có điện dung $C=31.8\mu F$. Điện áp hai đầu mạch có biểu thức $u=100\sqrt{2}\cos100\pi t$. Giá trị nào của R để công suất tên biến trở R đạt cực đại?

Click để xem thêm...

Công thức giải nhanh :
$$R=\sqrt{r^2+(Z_L-Z_C)^2} = 50 \Omega$$

$$P=\dfrac{U^{2}R}{Z^{2}}=\dfrac{U^{2}R}{(R+r)^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}$$

$$

\Leftrightarrow P=\dfrac{U^{2}R}{R^{2}+2rR+r^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}

\Leftrightarrow P=\dfrac{U^{2}}{R+\dfrac{r^{2}+(Z_{L}-Z_{c}^{2})}{R}+2r}$$

Do tử không đổi, nên để phân số lớn nhất thì mẫu số phải nhỏ nhất


$$

R+\dfrac{r^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}{R}\geqslant 2\sqrt{r^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}

\Leftrightarrow R=\dfrac{r^{2}+(Z_{L}-Z_{C})^{2}}{R}$$

Tìm được $$R=50\Omega$$