Google
Câu hỏi: Giá trị nào của m để phương trình $\log _{3}^{2}x+\sqrt{\log _{3}^{2}x+1}-2m-1=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn $\left[ 1;{{3}^{\sqrt{3}}} \right]?$
A. $1\le m\le 16.$
B. $4\le m\le 8.$
C. $3\le m\le 8.$
D. $0\le m\le 2.$
A. $1\le m\le 16.$
B. $4\le m\le 8.$
C. $3\le m\le 8.$
D. $0\le m\le 2.$
Ta có $\log _{3}^{2}x+\sqrt{\log _{3}^{2}x+1}-2m-1=0\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x+1+\sqrt{\log _{3}^{2}x+1}-2m-2=0\forall x>0$
Đặt $t=\sqrt{\log _{3}^{2}x+1}$ với $x\in \left[ 1;{{3}^{\sqrt{3}}} \right]$ thì $t\in \left[ 1;2 \right]$
Khi đó phương trình trở thành ${{t}^{2}}+t-2m-2=0.$
Để phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm $x\in \left[ 1;{{3}^{\sqrt{3}}} \right]$ thì phương trình ${{t}^{2}}+t-2m-2=0$ phải có ít nhất một nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right]$
Xét hàm số $f(t)={{t}^{2}}+t-2\forall t\in \left[ 1;2 \right]$ khi đó $0\le f(t)\le 4.$
Vậy phương trình ${{t}^{2}}+t-2m-2=0.$ có nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right]$ khi và chỉ khi $0\le 2m\le 4.$
$\Leftrightarrow 0\le m\le 2.$
Đặt $t=\sqrt{\log _{3}^{2}x+1}$ với $x\in \left[ 1;{{3}^{\sqrt{3}}} \right]$ thì $t\in \left[ 1;2 \right]$
Khi đó phương trình trở thành ${{t}^{2}}+t-2m-2=0.$
Để phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm $x\in \left[ 1;{{3}^{\sqrt{3}}} \right]$ thì phương trình ${{t}^{2}}+t-2m-2=0$ phải có ít nhất một nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right]$
Xét hàm số $f(t)={{t}^{2}}+t-2\forall t\in \left[ 1;2 \right]$ khi đó $0\le f(t)\le 4.$
Vậy phương trình ${{t}^{2}}+t-2m-2=0.$ có nghiệm $t\in \left[ 1;2 \right]$ khi và chỉ khi $0\le 2m\le 4.$
$\Leftrightarrow 0\le m\le 2.$
Đáp án D.