Google
Câu hỏi: Giá trị của tham số m để phương trình ${{16}^{x}}-{{3.4}^{x+1}}+m=0$ có hai nghiệm thực trái dấu là
A. $0<m<36$.
B. $11<m<36$.
C. $0<m<11$.
D. $0<m<13$.
A. $0<m<36$.
B. $11<m<36$.
C. $0<m<11$.
D. $0<m<13$.
Đặt ${{4}^{x}}=t$ $\left( t>0 \right)$.
Phương trình đã cho trở thành ${{t}^{2}}-12t+m=0$. $\left( 1 \right)$
Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ trái dấu, tức là ${{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm dương ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$ thỏa mãn ${{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$. $\left( * \right)$
Ta có: ${\Delta }'=36-m>0\Rightarrow m<36$.
Theo định lí Vi-ét $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=12 \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ ${{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}\Rightarrow \left( {{t}_{1}}-1 \right)\left( {{t}_{2}}-1 \right)<0\Rightarrow {{t}_{1}}.{{t}_{2}}-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+1<0\Rightarrow m-11<0$.
Vậy $0<m<11$.
Phương trình đã cho trở thành ${{t}^{2}}-12t+m=0$. $\left( 1 \right)$
Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ trái dấu, tức là ${{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm dương ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$ thỏa mãn ${{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}$. $\left( * \right)$
Ta có: ${\Delta }'=36-m>0\Rightarrow m<36$.
Theo định lí Vi-ét $\left\{ \begin{aligned}
& {{t}_{1}}+{{t}_{2}}=12 \\
& {{t}_{1}}.{{t}_{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Từ ${{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}\Rightarrow \left( {{t}_{1}}-1 \right)\left( {{t}_{2}}-1 \right)<0\Rightarrow {{t}_{1}}.{{t}_{2}}-\left( {{t}_{1}}+{{t}_{2}} \right)+1<0\Rightarrow m-11<0$.
Vậy $0<m<11$.
Đáp án C.