Giá trị của n thỏa mãn...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Giá trị của n thỏa mãn:

C_{2 n + 1}^{1} - 2.2 C_{2 n + 1}^{2} + {3.2}^{2} . C_{2 n + 1}^{3} - {4.2}^{3} . C_{2 n + 1}^{4} + . . . + (2 n + 1) {.2}^{2 n} . C_{2 n + 1}^{2 n + 1} = 2021

bằng
A. 1010
B. 1009
C. 2020
D. 2021

Xét

k C_{2 n + 1}^{k} = k . \frac{(2 n + 1)!}{k! (2 n + 1 - k)!} = \frac{(2 n + 1) . (2 n)!}{(k - 1)! [2 n - (k - 1)]!} = (2 n + 1) . C_{2 n}^{k - 1}

với

1 \leq k \leq 2 n + 1

.
Ta có

V T = (2 n + 1) (C_{2 n}^{0} - C_{2 n}^{1} 2^{1} + C_{2 n}^{2} 2^{2} - . . . + C_{2 n}^{2 n} 2^{2 n}) = (2 n + 1) {(1 - 2)}^{2 n} = 2 n + 1

.
Do đó:

2 n + 1 = 2021 \Leftrightarrow n = 1010

.

Đáp án A.