Giá trị của $m$ để hàm số...

Ta có ${y}'={{x}^{2}}-2mx+3m+1\Rightarrow {{y}'}'=2x-2m$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {y}'\left( 1 \right)=0 \\
& {{y}'}'\left( 1 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{1}^{2}}-2m.1+3m+1=0 \\
& 2.1-2m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-2 \\
& m<1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-2$.
Thử lại với $m=-2$, ta có: $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-5x+1$ suy ra ${y}'={{x}^{2}}+4x-5$.
Khi đó ${y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-5=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-5 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng xét dấu ${y}'$ :
Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại $x=1$ với $m=-2$.