Giá trị của m để bất phương trình $1+{{\log }_{5}}\left(...

The Knowledge · 15/12/21

Câu hỏi: Giá trị của m để bất phương trình

1 + \log_{5} (x^{2} + 1) \geq \log_{5} (m x^{2} + 4 x + m)

thỏa mãn với mọi

x \in R

là:
A.

- 1 < m \leq 0.

B.

- 1 < m < 0.

C.

2 < m \leq 3.

D.

2 < m \leq 3.

Ta có:

\begin{aligned} 1 + \log_{5} (x^{2} + 1) \geq \log_{5} (m x^{2} + 4 x + m) \\ \Leftrightarrow \log_{5} 5 + \log_{5} (x^{2} + 1) \geq \log_{5} (m x^{2} + 4 x + m) \\ \Leftrightarrow \log_{5} 5 (x^{2} + 1) \geq \log_{5} (m x^{2} + 4 x + m) . \end{aligned}

Bất phương trình thỏa mãn với mọi

x \in R \Leftrightarrow {\begin{aligned} m x^{2} + 4 x + m > 0 \\ 5 (x^{2} + 1) \geq m x^{2} + 4 x + m \end{aligned}, \forall x \in R

\Leftrightarrow {\begin{aligned} m x^{2} + 4 x + m > 0 \\ (5 - m) x^{2} - 4 x + 5 - m \geq 0 \end{aligned}, \forall x \in R \Leftrightarrow {\begin{aligned} m > 0 \\ 16 - 4 m^{2} < 0 \\ 5 - m > 0 \\ 16 - 4 {(5 - m)}^{2} \leq 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m > 0 \\ [\begin{aligned} m < - 2 \\ m > 2 \end{aligned} \\ m < 5 \\ [\begin{aligned} m \leq 3 \\ m \geq 7 \end{aligned} \end{aligned} \Leftrightarrow 2 < m \leq 3.

Lưu ý: Sử dụng dấu tam thức bậc hai không đổi trên

R

:

\begin{aligned} + f (x) = a x^{2} + b x + x \geq 0, \forall x \in R \Leftrightarrow {\begin{aligned} a > 0 \\ Δ \leq 0 \end{aligned} . \\ + f (x) = a x^{2} + b x + x > 0, \forall x \in R \Leftrightarrow {\begin{aligned} a > 0 \\ Δ < 0 \end{aligned} . \end{aligned}

Đáp án C.