Giá trị của m để bất phương trình $1+{{\log }_{5}}\left(...

Ta có:
$\begin{aligned}
& 1+{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{5}}5+{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right) \\
& \Leftrightarrow {{\log }_{5}}5\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{5}}\left( m{{x}^{2}}+4x+m \right). \\
\end{aligned}$
Bất phương trình thỏa mãn với mọi $x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\
& 5\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\
& \left( 5-m \right){{x}^{2}}-4x+5-m\ge 0 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& 16-4{{m}^{2}}<0 \\
& 5-m>0 \\
& 16-4{{\left( 5-m \right)}^{2}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>0 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m<-2 \\
& m>2 \\
\end{aligned} \right. \\
& m<5 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 3 \\
& m\ge 7 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2<m\le 3.$
Lưu ý: Sử dụng dấu tam thức bậc hai không đổi trên $\mathbb{R}$ :
$\begin{aligned}
& +\ f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+x\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& \Delta \le 0 \\
\end{aligned} \right.. \\
& +\ f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+x>0,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a>0 \\
& \Delta <0 \\
\end{aligned} \right.. \\
\end{aligned}$