Google
Câu hỏi: Gỉa sử $\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}{{{x}^{4}}}dx=\dfrac{1}{c}\left( a\sqrt{a}-\dfrac{b}{b+c}\sqrt{b} \right)}$ với $a,b,c\in \mathbb{N};1\le a,b,c\le 9$. Tính giá trị của biểu thức $C_{2a+c}^{b-a}$
A. 165
B. 715
C. 5456
D. 35
A. 165
B. 715
C. 5456
D. 35
$I=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}{{{x}^{4}}}dx=\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+1}}{{{x}^{3}}}dx}}$
Đặt ${{t}^{2}}=1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow 2tdt=-\dfrac{2}{{{x}^{3}}}dx\Rightarrow -tdt=\dfrac{1}{{{x}^{3}}}dx$
Đổi cận $x=2\Rightarrow t=\dfrac{\sqrt{5}}{2};x=1\Rightarrow t=\sqrt{2}$.
Ta được $I=-\int\limits_{\sqrt{2}}^{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}{{{t}^{2}}dt=\dfrac{1}{3}{{t}^{3}}\left| _{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}^{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{3}\left( 2\sqrt{2}-\dfrac{5}{5+3}\sqrt{5} \right) \right.}$
Vậy $a=2,b=5,c=3$ suy ra $C_{2a+c}^{b-a}=C_{7}^{3}=35$
Đặt ${{t}^{2}}=1+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\Rightarrow 2tdt=-\dfrac{2}{{{x}^{3}}}dx\Rightarrow -tdt=\dfrac{1}{{{x}^{3}}}dx$
Đổi cận $x=2\Rightarrow t=\dfrac{\sqrt{5}}{2};x=1\Rightarrow t=\sqrt{2}$.
Ta được $I=-\int\limits_{\sqrt{2}}^{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}{{{t}^{2}}dt=\dfrac{1}{3}{{t}^{3}}\left| _{\dfrac{\sqrt{5}}{2}}^{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{3}\left( 2\sqrt{2}-\dfrac{5}{5+3}\sqrt{5} \right) \right.}$
Vậy $a=2,b=5,c=3$ suy ra $C_{2a+c}^{b-a}=C_{7}^{3}=35$
Đáp án D.