Google
Câu hỏi: Giả sử $z$ là số phức thỏa mãn $\left| iz-2-i \right|=3$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $2\left| z-4-i \right|+\left| z+5+8i \right|$ có dạng $\sqrt{\overline{abc}}$. Khi đó $a+b+c$ bằng
A. $6$.
B. $9$.
C. $12$.
D. $15$.
A. $6$.
B. $9$.
C. $12$.
D. $15$.
Ta có: $\left| iz-2-i \right|=3\Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z-\dfrac{2+i}{i} \right|=3\Leftrightarrow \left| z-1+2i \right|=3\left( 1 \right)$
Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$.
Từ (1), ta có ${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=9\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1+3\sin t \\
& b=-2+3\cos t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Suy ra $z=\left( 1+3\sin t \right)+\left( -2+3\cos t \right)i$.
Đặt $P=2\left| z-4-i \right|+\left| z+5+8i \right|$. Khi đó:
$\begin{aligned}
& P=2\sqrt{{{\left( -3+3\sin t \right)}^{2}}+{{\left( -3+3\cos t \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 6+3\sin t \right)}^{2}}+{{\left( 6+3\cos t \right)}^{2}}} \\
& =6\sqrt{3-2\sin t-2\cos t}+3\sqrt{9+4\sin t+4\cos t}=6\sqrt{3-2\sqrt{2}\sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}\sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)} \\
\end{aligned}$
Cách 1: Đặt $u=\sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)$, $u\in \left[ -1;1 \right]$.
Xét hàm số $f\left( u \right)=6\sqrt{3-2\sqrt{2}u}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}u}$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$
$f'\left( u \right)=\dfrac{-6\sqrt{2}}{\sqrt{3-2\sqrt{2}u}}+\dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{9+4\sqrt{2}u}}$. Cho $f'\left( u \right)=0\Rightarrow u=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\in \left[ -1;1 \right]$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left( u \right)$ :
Do vậy giá trj lớn nhất của $P$ là $9\sqrt{5}$. Dấu bằng xảy ra khi $u=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\
& t=\pi +k2\pi \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=-2-2i \\
& z=1-5i \\
\end{aligned} \right.$
Cách 2: Sử dụng Bất đẳng thức Bunhia đánh giá
$P=6\sqrt{3-2\sqrt{2}\sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}\sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)}$
$=3\sqrt{2}\sqrt{6-4\sqrt{2}\sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}\sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)}\le \sqrt{(18+9)(6+9)}=9\sqrt{5}$.
Cách 3 :
Ta có: $\left| iz-2-i \right|=3\Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z-\dfrac{2+i}{i} \right|=3\Leftrightarrow \left| z-1+2i \right|=3\left( 1 \right)$
Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$.
Từ (1), ta có ${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2a-4b+4$.
Khi đó: $P=2\sqrt{{{(a-4)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}}+\sqrt{{{(a+5)}^{2}}+{{(b+8)}^{2}}}$
$=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-8a-2b+17}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+10a+16b+89}=2\sqrt{-6a-6b+21}+\sqrt{2}.\sqrt{6a+6b+\dfrac{91}{2}}$
$\le \sqrt{\left( 4+2 \right)\left( 21+\dfrac{93}{2} \right)}=\sqrt{405}=9\sqrt{5}$.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $\sqrt{405}$, suy ra $a=4 ; b=0 ; c=5$.
Tổng $a+b+c=9$.
Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$.
Từ (1), ta có ${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=9\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1+3\sin t \\
& b=-2+3\cos t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Suy ra $z=\left( 1+3\sin t \right)+\left( -2+3\cos t \right)i$.
Đặt $P=2\left| z-4-i \right|+\left| z+5+8i \right|$. Khi đó:
$\begin{aligned}
& P=2\sqrt{{{\left( -3+3\sin t \right)}^{2}}+{{\left( -3+3\cos t \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( 6+3\sin t \right)}^{2}}+{{\left( 6+3\cos t \right)}^{2}}} \\
& =6\sqrt{3-2\sin t-2\cos t}+3\sqrt{9+4\sin t+4\cos t}=6\sqrt{3-2\sqrt{2}\sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}\sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)} \\
\end{aligned}$
Cách 1: Đặt $u=\sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)$, $u\in \left[ -1;1 \right]$.
Xét hàm số $f\left( u \right)=6\sqrt{3-2\sqrt{2}u}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}u}$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$
$f'\left( u \right)=\dfrac{-6\sqrt{2}}{\sqrt{3-2\sqrt{2}u}}+\dfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{9+4\sqrt{2}u}}$. Cho $f'\left( u \right)=0\Rightarrow u=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\in \left[ -1;1 \right]$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left( u \right)$ :
Do vậy giá trj lớn nhất của $P$ là $9\sqrt{5}$. Dấu bằng xảy ra khi $u=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\
& t=\pi +k2\pi \\
\end{aligned} \right.\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& z=-2-2i \\
& z=1-5i \\
\end{aligned} \right.$
Cách 2: Sử dụng Bất đẳng thức Bunhia đánh giá
$P=6\sqrt{3-2\sqrt{2}\sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}\sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)}$
$=3\sqrt{2}\sqrt{6-4\sqrt{2}\sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}\sin \left( t+\dfrac{\pi }{4} \right)}\le \sqrt{(18+9)(6+9)}=9\sqrt{5}$.
Cách 3 :
Ta có: $\left| iz-2-i \right|=3\Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z-\dfrac{2+i}{i} \right|=3\Leftrightarrow \left| z-1+2i \right|=3\left( 1 \right)$
Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$.
Từ (1), ta có ${{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2a-4b+4$.
Khi đó: $P=2\sqrt{{{(a-4)}^{2}}+{{(b-1)}^{2}}}+\sqrt{{{(a+5)}^{2}}+{{(b+8)}^{2}}}$
$=2\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-8a-2b+17}+\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+10a+16b+89}=2\sqrt{-6a-6b+21}+\sqrt{2}.\sqrt{6a+6b+\dfrac{91}{2}}$
$\le \sqrt{\left( 4+2 \right)\left( 21+\dfrac{93}{2} \right)}=\sqrt{405}=9\sqrt{5}$.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $\sqrt{405}$, suy ra $a=4 ; b=0 ; c=5$.
Tổng $a+b+c=9$.
Đáp án B.