Giả sử $z$ là số phức thỏa mãn $|iz-2-i|=3$. Giá trị...

Ta có: $|iz-2-i|=3\iff \left|i\right|.|z-{\displaystyle \frac{2+i}{i}}|=3\iff |z-1+2i|=3\left(1\right)$
Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$.
Từ (1), ta có ${(a-1)}^2+{(b+2)}^2=9\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& a=1+3\sin t\\ & b=-2+3\cos t\end{array}(t\in \mathbb{R})$.
Suy ra $z=(1+3\sin t)+(-2+3\cos t)i$.
Đặt $P=2|z-4-i|+|z+5+8i|$. Khi đó:
$\begin{array}{rl}& P=2\sqrt{{(-3+3\sin t)}^2+{(-3+3\cos t)}^2}+\sqrt{{(6+3\sin t)}^2+{(6+3\cos t)}^2}\\ & =6\sqrt{3-2\sin t-2\cos t}+3\sqrt{9+4\sin t+4\cos t}=6\sqrt{3-2\sqrt{2}\sin (t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}\sin (t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}\end{array}$
Cách 1: Đặt $u=\sin (t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$, $u\in [-1;1]$.
Xét hàm số $f\left(u\right)=6\sqrt{3-2\sqrt{2}u}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}u}$ trên đoạn $[-1;1]$
$f^{\prime }\left(u\right)={\displaystyle \frac{-6\sqrt{2}}{\sqrt{3-2\sqrt{2}u}}}+{\displaystyle \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{9+4\sqrt{2}u}}}$. Cho $f^{\prime }\left(u\right)=0\Rightarrow u={\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2}}}\in [-1;1]$
Ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left(u\right)$ :

Do vậy giá trj lớn nhất của $P$ là $9\sqrt{5}$. Dấu bằng xảy ra khi $u={\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{2}}}\Rightarrow \sin (t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\iff [\begin{array}{rl}& t=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}+k2\pi \\ & t=\pi +k2\pi \end{array}(k\in \mathbb{Z})\Rightarrow [\begin{array}{rl}& z=-2-2i\\ & z=1-5i\end{array}$
Cách 2: Sử dụng Bất đẳng thức Bunhia đánh giá
$P=6\sqrt{3-2\sqrt{2}\sin (t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}\sin (t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}$
$=3\sqrt{2}\sqrt{6-4\sqrt{2}\sin (t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}+3\sqrt{9+4\sqrt{2}\sin (t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}\le \sqrt{(18+9)(6+9)}=9\sqrt{5}$.
Cách 3 :
Ta có: $|iz-2-i|=3\iff \left|i\right|.|z-{\displaystyle \frac{2+i}{i}}|=3\iff |z-1+2i|=3\left(1\right)$
Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}$.
Từ (1), ta có ${(a-1)}^2+{(b+2)}^2=9\iff a^2+b^2=2a-4b+4$.
Khi đó: $P=2\sqrt{{(a-4)}^2+{(b-1)}^2}+\sqrt{{(a+5)}^2+{(b+8)}^2}$
$=2\sqrt{a^2+b^2-8a-2b+17}+\sqrt{a^2+b^2+10a+16b+89}=2\sqrt{-6a-6b+21}+\sqrt{2}.\sqrt{6a+6b+{\displaystyle \frac{91}{2}}}$
$\le \sqrt{(4+2)(21+{\displaystyle \frac{93}{2}})}=\sqrt{405}=9\sqrt{5}$.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là $\sqrt{405}$, suy ra $a=4;b=0;c=5$.
Tổng $a+b+c=9$.