Giả sử z là các số phức z thỏa mãn $| i z - 2 - i | = 3$ . Giá...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Giả sử z là các số phức z thỏa mãn

| i z - 2 - i | = 3

. Giá trị lớn nhất của biểu thức

2 | z - 4 - i | + | z + 5 + 8 i |

bằng
A.

3 \sqrt{15}

.
B.

15 \sqrt{3}

.
C.

9 \sqrt{5}

.
D.

18 \sqrt{5}

.

Gọi

z = a + b i

(a, b \in R) \Rightarrow | i z - 2 - i | = 3

\Rightarrow {(a - 1)}^{2} + {(b + 2)}^{2} = 9

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm

I (1; - 2)

, bán kính

R = 3

Gọi

A (- 5; - 8)

,

B (4; 1)

.
Đặt

P = 2 | z - 4 - i | + | z + 5 + 8 i | \Rightarrow P = 2 M B + M A = M A + 2 M B

Nhận xét:

I A = 6 \sqrt{2}

,

I B = 3 \sqrt{2}

,

A B = 9 \sqrt{2} \Rightarrow

I, A, B thẳng hàng.
Ta có:

I A = 2 I B \Rightarrow \vec{I A} = - 2 \vec{I B}

Ta có:

{\begin{aligned} M A^{2} = I M^{2} + I A^{2} - 2 \vec{I M} . \vec{I A} = I M^{2} + I A^{2} + 4 \vec{I M} . \vec{I B} \\ M B^{2} = I M^{2} + I B^{2} - 2 \vec{I M} . \vec{I B} \Rightarrow 2 M B^{2} = 2 I M^{2} + 2 I B^{2} - 4 \vec{I M} . \vec{I B} \end{aligned}

\Rightarrow M A^{2} + 2 M B^{2} = 3 M I^{2} + I A^{2} + 2 I B^{2} = 3 R^{2} + I A^{2} + 2 I B^{2} = {3.3}^{2} + 72 + 2.18 = 135

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

P^{2} = {(M A + 2 M B)}^{2} = {(M A + \sqrt{2} . \sqrt{2} M B)}^{2} \leq (1^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}) (M A^{2} + 2 M B^{2}) = 3.135

\Rightarrow P^{2} \leq 405 \Rightarrow P \leq 9 \sqrt{5}

Đáp án C.

Giả sử z là các số phức z thỏa mãn |iz−2−i|=3. Giá...