Giả sử z là các số phức z thỏa mãn $\left| iz-2-i \right|=3$. Giá...

Gọi $z=a+bi$ $\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left| iz-2-i \right|=3$
$\Rightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b+2 \right)}^{2}}=9$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I\left( 1;-2 \right)$, bán kính $R=3$
Gọi $A\left( -5;-8 \right)$, $B\left( 4;1 \right)$.
Đặt $P=2\left| z-4-i \right|+\left| z+5+8i \right|\Rightarrow P=2MB+MA=MA+2MB$
Nhận xét: $IA=6\sqrt{2}$, $IB=3\sqrt{2}$, $AB=9\sqrt{2}\Rightarrow $ I, A, B thẳng hàng.
Ta có: $IA=2IB\Rightarrow \overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IB}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& M{{A}^{2}}=I{{M}^{2}}+I{{A}^{2}}-2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IA}=I{{M}^{2}}+I{{A}^{2}}+4\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IB} \\
& M{{B}^{2}}=I{{M}^{2}}+I{{B}^{2}}-2\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IB}\Rightarrow 2M{{B}^{2}}=2I{{M}^{2}}+2I{{B}^{2}}-4\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IB} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}}=3M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}=3{{R}^{2}}+I{{A}^{2}}+2I{{B}^{2}}={{3.3}^{2}}+72+2.18=135$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:
${{P}^{2}}={{\left( MA+2MB \right)}^{2}}={{\left( MA+\sqrt{2}.\sqrt{2}MB \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}} \right)\left( M{{A}^{2}}+2M{{B}^{2}} \right)=3.135$
$\Rightarrow {{P}^{2}}\le 405\Rightarrow P\le 9\sqrt{5}$