Giả sử $z_1,z_2$ là hai trong số các số phức z thỏa...

Gọi $z=x+yi(x,y\in \mathbb{R})$, khi đó:
$(z+i)(\bar{z}+3i)=[x+(y+1)i].[x-(y-3)i]$ là số thuần ảo
$\iff$ phần thực: $x^2+(y+1)(y-3)=0\iff x^2+{(y-1)}^2=4(\ast )$
Gọi $\{\begin{array}{rl}& A\left(z_1\right)\\ & B\left(z_2\right)\end{array}\underset{(\ast )}{\overset{|z_1-z_2|=3}{\to }}AB=3$
Và A, B thuộc đường tròn tâm $I(0;1)$ và bán kính R = 2.
Xét điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}(2\ast )$
Khi đó: $P=|z_1+2z_2|=|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}|={|\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+2(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB})|}^{(2\ast )}=3\left|\overrightarrow{OM}\right|=3OM$
Gọi H là trung điểm của AB, khi đó với (2*), suy ra:
$\{\begin{array}{rl}& MH=BH-BM={\displaystyle \frac{3}{2}}-1={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & IH=\sqrt{I{B}^2-H{B}^2}=\sqrt{2^2-{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}}\end{array}\Rightarrow IM=\sqrt{M{H}^2+I{H}^2}=\sqrt{2}$
Suy ra M thuộc đường tròn tâm $I(0;1)$, bán kính $r=\sqrt{2}$.
Khi đó: $P_{min}=3O{M}_{min}=3OC=3(OI+r)=3(1+\sqrt{2})=3+3\sqrt{2}$