Giả sử ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai trong số các số phức z thỏa...

Gọi $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, khi đó:
$\left( z+i \right)\left( \overline{z}+3i \right)=\left[ x+\left( y+1 \right)i \right].\left[ x-\left( y-3 \right)i \right]$ là số thuần ảo
$\Leftrightarrow $ phần thực: ${{x}^{2}}+\left( y+1 \right)\left( y-3 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=4\left( * \right)$
Gọi $\left\{ \begin{aligned}
& A\left( {{z}_{1}} \right) \\
& B\left( {{z}_{2}} \right) \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow[\left( * \right)]{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=3}AB=3$
Và A, B thuộc đường tròn tâm $I\left( 0;1 \right)$ và bán kính R = 2.
Xét điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\left( 2* \right)$
Khi đó: $P=\left| {{z}_{1}}+2{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB} \right|={{\left| \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+2\left( \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB} \right) \right|}^{\left( 2* \right)}}=3\left| \overrightarrow{OM} \right|=3OM$
Gọi H là trung điểm của AB, khi đó với (2*), suy ra:
$\left\{ \begin{aligned}
& MH=BH-BM=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2} \\
& IH=\sqrt{I{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}-{{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow IM=\sqrt{M{{H}^{2}}+I{{H}^{2}}}=\sqrt{2}$
Suy ra M thuộc đường tròn tâm $I\left( 0;1 \right)$, bán kính $r=\sqrt{2}$.
Khi đó: ${{P}_{\min }}=3O{{M}_{\min }}=3OC=3\left( OI+r \right)=3\left( 1+\sqrt{2} \right)=3+3\sqrt{2}$