Google
Câu hỏi: Giả sử ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai trong số các số phức thỏa mãn $\left| iz+\sqrt{3}-i \right|=2$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}} \right|+\sqrt{3}\left| {{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $6\sqrt{2}$
B. 8
C. $4\sqrt{3}$
D. 12
A. $6\sqrt{2}$
B. 8
C. $4\sqrt{3}$
D. 12
Ta có $\left| iz+\sqrt{3}-i \right|=2\Leftrightarrow \left| i\left( z+\dfrac{\sqrt{3}-i}{i} \right) \right|=2\Leftrightarrow \left| z-1-\sqrt{3}i \right|=2$
Gọi $A\left( {{z}_{1}} \right), B\left( {{z}_{2}} \right)$ là hai điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ trên mặt phẳng phức thì A, B cùng thuộc đường tròn tâm $I\left( 1; \sqrt{3} \right), R=2$
Mặt khác $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4=2R\Rightarrow $ AB là đường kính và I là trung điểm của AB, do đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=4$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và đẳng thức Môđun ta có:
$\left| {{z}_{1}} \right|+\sqrt{3}\left| {{z}_{2}} \right|\le \sqrt{\left( 1+3 \right)\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)}=\sqrt{2\left( {{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)}=\sqrt{2\left( {{4}^{2}}+{{4}^{2}} \right)}=8$
Gọi $A\left( {{z}_{1}} \right), B\left( {{z}_{2}} \right)$ là hai điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ trên mặt phẳng phức thì A, B cùng thuộc đường tròn tâm $I\left( 1; \sqrt{3} \right), R=2$
Mặt khác $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4=2R\Rightarrow $ AB là đường kính và I là trung điểm của AB, do đó $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=4$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và đẳng thức Môđun ta có:
$\left| {{z}_{1}} \right|+\sqrt{3}\left| {{z}_{2}} \right|\le \sqrt{\left( 1+3 \right)\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)}=\sqrt{2\left( {{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)}=\sqrt{2\left( {{4}^{2}}+{{4}^{2}} \right)}=8$
Đáp án B.