Google
Câu hỏi: Giả sử ${{z}_{1}}, {{z}_{2}}$ là hai trong các số phức $z$ thỏa mãn $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)$ là số thực. Biết rằng $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4$. Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $5-\sqrt{21}$
B. $20-4\sqrt{21}$
C. $20-4\sqrt{22}$
D. $5-\sqrt{22}$
$-x\left( x-6 \right)+y\left( 8-y \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=25\Leftrightarrow \left| z-3-4i \right|=5$.
Đặt ẩn phụ cho đơn giản: $u=z34i\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \text{ }\left| {{u}_{1}} \right|=\left| {{u}_{2}} \right|=5 \\
& \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| \left( {{u}_{1}}+3+4i \right)-\left( {{u}_{2}}+3+4i \right) \right|=\left| {{u}_{1}}-{{u}_{2}} \right|=4 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \left( {{u}_{1}}+3+4i \right)+3\left( {{u}_{2}}+3+4i \right) \right|=\left| {{u}_{1}}+3{{u}_{2}}+4\left( 3+4i \right) \right|$
Gọi $A\left( {{u}_{1}} \right),B\left( {{u}_{2}} \right)$ khi đó $\left| {{u}_{1}} \right|=\left| \overrightarrow{OA} \right|=5,\left| {{u}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OB} \right|=5$ và
${{\left| {{u}_{1}}-{{u}_{2}} \right|}^{2}}={{\left| \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \right|}^{2}}={{\overrightarrow{OA}}^{2}}+{{\overrightarrow{OB}}^{2}}-2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=25+25-2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=16\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=17$.
Vì vậy
${{\left| {{u}_{1}}+3{{u}_{2}} \right|}^{2}}={{\left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|}^{2}}={{\overrightarrow{OA}}^{2}}+9{{\overrightarrow{OB}}^{2}}+6\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=25+9.25+6.17=352\Rightarrow \left| {{u}_{1}}+3{{u}_{2}} \right|=4\sqrt{22}$.
Dùng bất đẳng thức môđun $\left| a+b \right|\ge \left| \left| a \right|-\left| b \right| \right|$ có:
$\left| {{u}_{1}}+3{{u}_{2}}+4\left( 3+4i \right) \right|\ge \left| 4\left( 3+4i \right) \right|-\left| {{u}_{1}}+3{{u}_{2}} \right|=20-4\sqrt{22}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ bằng $20-4\sqrt{22}.$
A. $5-\sqrt{21}$
B. $20-4\sqrt{21}$
C. $20-4\sqrt{22}$
D. $5-\sqrt{22}$
Đặt $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}.$ Khi đó: $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)=\left( x-6+yi \right)\left( 8-y-xi \right)=\left( x-6 \right)\left( 8-y \right)+xy+\left( -x\left( x-6 \right)+y\left( 8-y \right) \right)i$ là một số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0, tức là:$-x\left( x-6 \right)+y\left( 8-y \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=25\Leftrightarrow \left| z-3-4i \right|=5$.
Đặt ẩn phụ cho đơn giản: $u=z34i\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \text{ }\left| {{u}_{1}} \right|=\left| {{u}_{2}} \right|=5 \\
& \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\left| \left( {{u}_{1}}+3+4i \right)-\left( {{u}_{2}}+3+4i \right) \right|=\left| {{u}_{1}}-{{u}_{2}} \right|=4 \\
\end{aligned} \right.$
Khi đó $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \left( {{u}_{1}}+3+4i \right)+3\left( {{u}_{2}}+3+4i \right) \right|=\left| {{u}_{1}}+3{{u}_{2}}+4\left( 3+4i \right) \right|$
Gọi $A\left( {{u}_{1}} \right),B\left( {{u}_{2}} \right)$ khi đó $\left| {{u}_{1}} \right|=\left| \overrightarrow{OA} \right|=5,\left| {{u}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OB} \right|=5$ và
${{\left| {{u}_{1}}-{{u}_{2}} \right|}^{2}}={{\left| \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB} \right|}^{2}}={{\overrightarrow{OA}}^{2}}+{{\overrightarrow{OB}}^{2}}-2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=25+25-2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=16\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=17$.
Vì vậy
${{\left| {{u}_{1}}+3{{u}_{2}} \right|}^{2}}={{\left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|}^{2}}={{\overrightarrow{OA}}^{2}}+9{{\overrightarrow{OB}}^{2}}+6\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=25+9.25+6.17=352\Rightarrow \left| {{u}_{1}}+3{{u}_{2}} \right|=4\sqrt{22}$.
Dùng bất đẳng thức môđun $\left| a+b \right|\ge \left| \left| a \right|-\left| b \right| \right|$ có:
$\left| {{u}_{1}}+3{{u}_{2}}+4\left( 3+4i \right) \right|\ge \left| 4\left( 3+4i \right) \right|-\left| {{u}_{1}}+3{{u}_{2}} \right|=20-4\sqrt{22}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ bằng $20-4\sqrt{22}.$
Đáp án C.