Google
Câu hỏi: Giả sử ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện $\left( z-6 \right)\left( 8-\bar{z} \right)$ là số thực. Biết rằng $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4$, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $5-\sqrt{21}$.
B. $20-4\sqrt{21}$.
C. $20-4\sqrt{22}$.
D. $5-\sqrt{22}$.
A. $5-\sqrt{21}$.
B. $20-4\sqrt{21}$.
C. $20-4\sqrt{22}$.
D. $5-\sqrt{22}$.
Đặt $z=x+yi\left( z-6 \right)\left( 8-\bar{z} \right)=\left( x-6+yi \right)\left( 8-y-xi \right)$ là số thực khi
$-(x-6).x+y.(8-y)=0\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=25$ là đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=5$
Gọi $A\left( {{z}_{1}} \right)$, $B\left( {{z}_{2}} \right)\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB=4$
Điểm $M\in AB$ sao cho $\overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{MB}$
$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM}\Rightarrow \left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=4OM$
Do đó ${{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}$ khi và chỉ khi OM nhỏ nhất
Vì $MA.MB=-M{{I}^{2}}+{{R}^{2}}\Rightarrow M{{I}^{2}}=22\Rightarrow MI=\sqrt{22}\Rightarrow M\in \left( I;\sqrt{22} \right)$
Vậy $O{{M}_{\min }}=5-\sqrt{22}\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=20-4\sqrt{22}$
Điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}={{x}_{A}}+{{y}_{A}}i$
Điểm $B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}={{x}_{B}}+{{y}_{B}}i$
Ta có: $AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}}$
${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)+\left( {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)i$
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}}$
Do đó $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$.
Tâm tỉ cự: Cho đường tròn tâm $\left( O \right)$ bán kính R có dây AB và điểm M nằm trên đường thẳng AB. Ta có: $MA.MB=\left| M{{O}^{2}}-{{R}^{2}} \right|$.
$-(x-6).x+y.(8-y)=0\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}=25$ là đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=5$
Gọi $A\left( {{z}_{1}} \right)$, $B\left( {{z}_{2}} \right)\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB=4$
Điểm $M\in AB$ sao cho $\overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{MB}$
$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM}\Rightarrow \left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=4OM$
Do đó ${{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}$ khi và chỉ khi OM nhỏ nhất
Vì $MA.MB=-M{{I}^{2}}+{{R}^{2}}\Rightarrow M{{I}^{2}}=22\Rightarrow MI=\sqrt{22}\Rightarrow M\in \left( I;\sqrt{22} \right)$
Vậy $O{{M}_{\min }}=5-\sqrt{22}\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=20-4\sqrt{22}$
Note 21: Phương pháp chung
Số phức liên hợp của số phức $z=x+yi$ là $\bar{z}=x-yi$.Điểm $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}}={{x}_{A}}+{{y}_{A}}i$
Điểm $B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{2}}={{x}_{B}}+{{y}_{B}}i$
Ta có: $AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}}$
${{z}_{1}}-{{z}_{2}}=\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)+\left( {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)i$
$\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{A}}-{{y}_{B}} \right)}^{2}}}$
Do đó $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$.
Tâm tỉ cự: Cho đường tròn tâm $\left( O \right)$ bán kính R có dây AB và điểm M nằm trên đường thẳng AB. Ta có: $MA.MB=\left| M{{O}^{2}}-{{R}^{2}} \right|$.
Đáp án C.