Google
Câu hỏi: Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức z thỏa mãn $\left| iz+\sqrt{3}-i \right|=1$ và $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2$. Giả trị lớn nhất của biểu thức $P=\left| {{z}_{1}} \right|+\sqrt{3}\left| {{z}_{2}} \right|$ bằng
A. ${{P}_{\max }}=4\sqrt{5}$
B. ${{P}_{\max }}=8$
C. ${{P}_{\max }}=8\sqrt{2}$
D. ${{P}_{\max }}=2\sqrt{10}$
A. ${{P}_{\max }}=4\sqrt{5}$
B. ${{P}_{\max }}=8$
C. ${{P}_{\max }}=8\sqrt{2}$
D. ${{P}_{\max }}=2\sqrt{10}$
Chú ý: Cho hai số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ ta có ${{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=2\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)$
Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1 }}v\grave{a} {{z}_{2}}$
Ta có $\left| iz+\sqrt{3}-i \right|=1\Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z+\dfrac{\sqrt{3}-i}{i} \right|=1\Leftrightarrow \left| z-1-\sqrt{3}i \right|=1$
Suy ra hai điểm A, B nằm trên đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;\sqrt{3} \right)$ và bán kính $R=1$
Ngoài ra $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow AB=2\Leftrightarrow AB=2.R$. Khi đó AB chính là đường kính của đường tròn $\left( C \right)$ nên I là trung điểm của AB.
Như vậy $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right|=\left| 2\overrightarrow{OI} \right|=2OI=4$
Ta có $P=\left| {{z}_{1}} \right|+\sqrt{3}\left| {{z}_{2}} \right|\le \sqrt{\left( 1+3 \right)\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)}=\sqrt{4.\dfrac{{{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}}{2}}=2\sqrt{10}$
Vậy ${{P}_{\max }}=2\sqrt{10}$
Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1 }}v\grave{a} {{z}_{2}}$
Ta có $\left| iz+\sqrt{3}-i \right|=1\Leftrightarrow \left| i \right|.\left| z+\dfrac{\sqrt{3}-i}{i} \right|=1\Leftrightarrow \left| z-1-\sqrt{3}i \right|=1$
Suy ra hai điểm A, B nằm trên đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;\sqrt{3} \right)$ và bán kính $R=1$
Ngoài ra $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=2\Leftrightarrow AB=2\Leftrightarrow AB=2.R$. Khi đó AB chính là đường kính của đường tròn $\left( C \right)$ nên I là trung điểm của AB.
Như vậy $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right|=\left| 2\overrightarrow{OI} \right|=2OI=4$
Ta có $P=\left| {{z}_{1}} \right|+\sqrt{3}\left| {{z}_{2}} \right|\le \sqrt{\left( 1+3 \right)\left( {{\left| {{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{2}} \right|}^{2}} \right)}=\sqrt{4.\dfrac{{{\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|}^{2}}+{{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}^{2}}}{2}}=2\sqrt{10}$
Vậy ${{P}_{\max }}=2\sqrt{10}$
Đáp án D.