Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức $z$ thỏa mãn...

HD: Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)=\left( x-6+yi \right)\left( 8-y-xi \right)$ là số thực khi
$-\left( x-6 \right)x+y\left( 8-y \right)=0\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=25$ là đường tròn tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=5$
Gọi $A\left( {{z}_{1}} \right),B\left( {{z}_{2}} \right)\Rightarrow \left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB=4.$
Điểm $M\in \text{A}B$ sao cho $\overrightarrow{MA}=-3\overrightarrow{MB}\Rightarrow \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM}\Rightarrow \left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=4OM$
Do đó ${{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}$ khi và chỉ khi $OM$ nhỏ nhất
Vì $MA.MB=-M{{I}^{2}}+{{R}^{2}}\Rightarrow M{{I}^{2}}=22\Rightarrow MI=\sqrt{22}\Rightarrow M\in \left( 1;\sqrt{22} \right)$
Vậy $O{{M}_{\min }}=5-\sqrt{22}\Rightarrow {{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=20-4\sqrt{22}.$