Giả sử $z_{1}, z_{2}$ là hai trong các số phức $z$ thỏa mãn...

The Knowledge · 14/2/22

Câu hỏi: Giả sử

z_{1}, z_{2}

là hai trong các số phức

z

thỏa mãn

(z - 6) (8 + \overset{―}{z i})

là số thực. Biết rằng

| z_{1} - z_{2} | = 4,

giá trị nhỏ nhất của

| z_{1} + 3 z_{2} |

bằng
A.

5 - \sqrt{21}

B.

20 - 4 \sqrt{21}

C.

20 - 4 \sqrt{22}

D.

5 - \sqrt{22}

HD: Đặt

z = x + y i (x, y \in R) \Rightarrow (z - 6) (8 + \overset{―}{z i}) = (x - 6 + y i) (8 - y - x i)

là số thực khi

- (x - 6) x + y (8 - y) = 0 \Leftrightarrow {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25

là đường tròn tâm

I (3; 4)

, bán kính

R = 5

Gọi

A (z_{1}), B (z_{2}) \Rightarrow | z_{1} - z_{2} | = A B = 4.

Điểm

M \in A B

sao cho

\vec{M A} = - 3 \vec{M B} \Rightarrow \vec{O A} + 3 \vec{O B} = 4 \vec{O M} \Rightarrow | \vec{O A} + 3 \vec{O B} | = 4 O M

Do đó

{| z_{1} + 3 z_{2} |}_{min}

khi và chỉ khi

O M

nhỏ nhất
Vì

M A . M B = - M I^{2} + R^{2} \Rightarrow M I^{2} = 22 \Rightarrow M I = \sqrt{22} \Rightarrow M \in (1; \sqrt{22})

Vậy

O M_{min} = 5 - \sqrt{22} \Rightarrow {| z_{1} + 3 z_{2} |}_{min} = 20 - 4 \sqrt{22} .

Đáp án C.

Giả sử z1,z2 là hai trong các số phức z thỏa mãn...