Google
Câu hỏi: Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức z thỏa mãn $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)$ là số thực. Biết rằng $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4.$ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $w={{z}_{1}}+{{z}_{2}}$ là một đường tròn có bán kính bằng
A. $2\sqrt{21}.$
B. $\sqrt{21}.$
C. 6.
D. 3.
A. $2\sqrt{21}.$
B. $\sqrt{21}.$
C. 6.
D. 3.
Đặt $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ ta có: $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)=\left( x+yi-6 \right)\left( 8+\overline{\left( xi-y \right)} \right)$
$=\left( x+yi-6 \right)\left( 8-y-xi \right)=\left[ \left( x-6 \right)+yi \right]\left[ \left( 8-y \right)-xi \right]$ là số thực khi phần ảo của nó là $\left( x-6 \right).\left( -x \right)+y\left( 8-y \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0$ $\left( C \right)$
Đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 3;4 \right)$ bán kính $R=5.$
Gọi A, B là các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thì $AB=4,$ trung điểm H của AB biểu diễn số phức $\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2}=\dfrac{w}{2}$
Ta có: $IH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{21}\Rightarrow \left| \dfrac{w}{2}-\left( 3+4i \right) \right|=\sqrt{21}\Leftrightarrow \left| w-\left( 6+8i \right) \right|=2\sqrt{21}$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có bán kính $R=2\sqrt{21}.$
$=\left( x+yi-6 \right)\left( 8-y-xi \right)=\left[ \left( x-6 \right)+yi \right]\left[ \left( 8-y \right)-xi \right]$ là số thực khi phần ảo của nó là $\left( x-6 \right).\left( -x \right)+y\left( 8-y \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0$ $\left( C \right)$
Đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 3;4 \right)$ bán kính $R=5.$
Gọi A, B là các điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thì $AB=4,$ trung điểm H của AB biểu diễn số phức $\dfrac{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}}{2}=\dfrac{w}{2}$
Ta có: $IH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{21}\Rightarrow \left| \dfrac{w}{2}-\left( 3+4i \right) \right|=\sqrt{21}\Leftrightarrow \left| w-\left( 6+8i \right) \right|=2\sqrt{21}$
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có bán kính $R=2\sqrt{21}.$
Đáp án A.