Giả sử ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ là hai trong các số phức thỏa mãn...

Giả sử $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$.
Gọi $A$, $B$ lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$. Suy ra $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=6$.
Ta có $\left( z-6 \right)\left( 8-\overline{z} i \right)$ $=\left[ \left( x-6 \right)+yi \right]\left[ \left( 8-y \right)-xi \right]$ $=\left( 8x+6y-48 \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y \right)i$.
Theo giả thiết $\left( z-6 \right)\left( 8-\overline{z} i \right)$ là số thực nên ta suy ra ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0$. Tức là các điểm $A$, $B$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=5$.
Xét điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ thỏa mãn: $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Ta tính được $H{{I}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=21$ ; $IM=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{22}$.
Suy ra điểm $M$ thuộc đường tròn $\left( {{C}'} \right)$ tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $r=\sqrt{22}$.
Ta có $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=\left| 4\overrightarrow{OM} \right|=4OM$, do đó $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ nhỏ nhất khi $OM$ nhỏ nhất.
Ta có $\text{Min }OM=O{{M}_{0}}=\left| OI-r \right|=5-\sqrt{22}$.
Vậy $\text{Min }P=4O{{M}_{0}}=20-4\sqrt{22}$. Khi đó $a=20,b=22\Rightarrow T=42$.