Google
Câu hỏi: Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)$ là số thực. Biết rằng $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4$, giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $20-4\sqrt{21}$.
B. $20-4\sqrt{22}$.
C. $5-\sqrt{22}$.
D. $5-\sqrt{21}$.
Giả sử $z=x+yi$, $x,y\in \mathbb{R}$.Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Suy ra $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4$.
* Ta có $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)$ $=\left[ \left( x-6 \right)+yi \right].\left[ \left( 8-y \right)-xi \right]$ $=\left( 8x+6y-48 \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y \right)i$. Theo giả thiết $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)$ là số thực nên ta suy ra ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0$. Tức là các điểm $A,B$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=5$.
* Xét điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ thỏa $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$.
Ta có $HA=HB=\dfrac{AB}{2}=2$ và $MA=\dfrac{3}{4}AB=3$ $\Rightarrow HM=MA-HA=1$.
Từ đó $H{{I}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=21$, $IM=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{22}$, suy ra điểm $M$ thuộc đường tròn $\left( {{C}'} \right)$ tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $r=\sqrt{22}$.
* Ta có $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=\left| 4\overrightarrow{OM} \right|=4OM$, do đó $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ nhỏ nhất khi $OM$ nhỏ nhất.
Ta có $O{{M}_{\min }}=O{{M}_{0}}=\left| OI-r \right|=5-\sqrt{22}$.
Vậy ${{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=4O{{M}_{0}}=20-4\sqrt{22}$.
A. $20-4\sqrt{21}$.
B. $20-4\sqrt{22}$.
C. $5-\sqrt{22}$.
D. $5-\sqrt{21}$.
Giả sử $z=x+yi$, $x,y\in \mathbb{R}$.Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$. Suy ra $AB=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4$.
* Ta có $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)$ $=\left[ \left( x-6 \right)+yi \right].\left[ \left( 8-y \right)-xi \right]$ $=\left( 8x+6y-48 \right)-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y \right)i$. Theo giả thiết $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)$ là số thực nên ta suy ra ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0$. Tức là các điểm $A,B$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $R=5$.
* Xét điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ thỏa $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{OM}$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB$.
Ta có $HA=HB=\dfrac{AB}{2}=2$ và $MA=\dfrac{3}{4}AB=3$ $\Rightarrow HM=MA-HA=1$.
Từ đó $H{{I}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=21$, $IM=\sqrt{H{{I}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{22}$, suy ra điểm $M$ thuộc đường tròn $\left( {{C}'} \right)$ tâm $I\left( 3;4 \right)$, bán kính $r=\sqrt{22}$.
* Ta có $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB} \right|=\left| 4\overrightarrow{OM} \right|=4OM$, do đó $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ nhỏ nhất khi $OM$ nhỏ nhất.
Ta có $O{{M}_{\min }}=O{{M}_{0}}=\left| OI-r \right|=5-\sqrt{22}$.
Vậy ${{\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=4O{{M}_{0}}=20-4\sqrt{22}$.
Đáp án B.