Google
Câu hỏi: Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là $2$ trong các số phức $z$ thỏa mãn $\left| z+1+i \right|=2$ và $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|$. Khi $P=\left| {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất thì số phức ${{z}_{1}}$ có tích phần thực, phần ảo bằng
A. $0.$
B. $\dfrac{3}{2}.$
C. $-\dfrac{9}{8}.$
D. $-\dfrac{3}{2}.$
A. $0.$
B. $\dfrac{3}{2}.$
C. $-\dfrac{9}{8}.$
D. $-\dfrac{3}{2}.$
Ta có: $|z+1+i|=2 \Leftrightarrow|z-(-1-i)|=2 \Rightarrow M(z)$ thuộc đường tròn có tâm $I(-1 ;-1), R=2$
Và gọi $A\left(z_{1}\right), B\left(z_{2}\right) \Rightarrow\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right| \Leftrightarrow O A+O B=A B \Leftrightarrow O$ thuộc đoạn $A B$
Khi đó $P^{2}=\left|z_{1}-2 z_{2}\right|^{2}=(\overrightarrow{O A}-2 \overrightarrow{O B})^{2}=\overrightarrow{O A}^{2}+4 \overrightarrow{O B}^{2}-4 \cdot \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=O A^{2}+4 O B^{2}+4 O A \cdot O B$.
Mặt khác $O A \cdot O B=(H A+O H)(H B-O H)=(H A+O H)(H A-O H)=H A^{2}-O H^{2}$ $=H A^{2}-\left(O I^{2}-I H^{2}\right)=\left(H A^{2}+I H^{2}\right)-O I^{2}=I A^{2}-O I^{2}=R^{2}-O I^{2}=4-2=2$
Do đó: $P^{2}=O A^{2}+4 O B^{2}+8 \geq 2 \sqrt{O A^{2} \cdot 4 O B^{2}}+8=16$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}O A^{2}=4 O B^{2} \\ O A \cdot O B=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}O A=2 \\ O B=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left|z_{1}\right|=2 \\ \left|z_{2}\right|=1\end{array}\right.\right.\right.$
Đặt $z_{1}=x+y i(x, y \in \mathbb{R}) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\left|z_{1}+1+i\right|=2 \\ \left|z_{1}\right|=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(x+1)^{2}+(y+1)^{2}=4 \\ x^{2}+y^{2}=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=-1 \\ x^{2}+y^{2}=4\end{array}\right.\right.\right.$
Suy ra $x y=\dfrac{(x+y)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2}=\dfrac{(-1)^{2}-4}{2}=-\dfrac{3}{2}$
Và gọi $A\left(z_{1}\right), B\left(z_{2}\right) \Rightarrow\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|=\left|z_{1}-z_{2}\right| \Leftrightarrow O A+O B=A B \Leftrightarrow O$ thuộc đoạn $A B$
Mặt khác $O A \cdot O B=(H A+O H)(H B-O H)=(H A+O H)(H A-O H)=H A^{2}-O H^{2}$ $=H A^{2}-\left(O I^{2}-I H^{2}\right)=\left(H A^{2}+I H^{2}\right)-O I^{2}=I A^{2}-O I^{2}=R^{2}-O I^{2}=4-2=2$
Do đó: $P^{2}=O A^{2}+4 O B^{2}+8 \geq 2 \sqrt{O A^{2} \cdot 4 O B^{2}}+8=16$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}O A^{2}=4 O B^{2} \\ O A \cdot O B=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}O A=2 \\ O B=1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left|z_{1}\right|=2 \\ \left|z_{2}\right|=1\end{array}\right.\right.\right.$
Đặt $z_{1}=x+y i(x, y \in \mathbb{R}) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\left|z_{1}+1+i\right|=2 \\ \left|z_{1}\right|=2\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(x+1)^{2}+(y+1)^{2}=4 \\ x^{2}+y^{2}=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+y=-1 \\ x^{2}+y^{2}=4\end{array}\right.\right.\right.$
Suy ra $x y=\dfrac{(x+y)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2}=\dfrac{(-1)^{2}-4}{2}=-\dfrac{3}{2}$
Đáp án D.