Giả sử $z_1,{\text{z}}_2$ là hai số phức thỏa mãn...

Gọi $M(z_1)$, khi đó $|z_1-2-3i|=1\iff M\in (C_1)$ với $(C_1)$ là đường tròn tâm $I_1(2;3)$ và $R_1=1$.
Gọi $N(z_2)$, khi đó $|z_2+2+5i|=2\iff N\in (C_2)$ với $(C_2)$ là đường tròn tâm $I_2(-2;-5)$ và $R_2=2$.
Gọi $A(z)$ và $z=x+yi$, khi đó: $|z-3-i|=|z-1+i|$
$\iff {(x-3)}^2+{(y-1)}^2={(x-1)}^2+{(y+1)}^2\iff x+y-2=0$.
Suy ra $A\in \mathrm{\Delta }:x+y-2=0$. Ta có:
$T=AM+AN=(AM+M{I}_1)+(AN+N{I}_2)-3\ge A{I}_1+A{I}_2-3\ge I_1{I}_2-3=4\sqrt{5}-3$.
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{A\right\}=I_1{I}_2\cap \mathrm{\Delta }$. Vậy $T_{min}=4\sqrt{5}-3$.
Chú ý: Ở bài toán này do $I_1,{\text{I}}_2$ khác phía so với $\mathrm{\Delta }$ nên dấu "=" xảy ra, nếu trường hợp cùng phía ta phải lấy thêm điểm đối xứng để chuyển về khác phía.