Google
Câu hỏi: Giả sử ${{z}_{1}},{{\text{z}}_{2}}$ là hai số phức thỏa mãn $\left| {{z}_{1}}-2-3i \right|=1$ và $\left| {{z}_{2}}+2+5i \right|=2$ và số phức z thỏa mãn $\left| z-3-i \right|=\left| z-1+i \right|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\left| z-{{z}_{1}} \right|+\left| z-{{z}_{2}} \right|$.
A. $4\sqrt{5}$
B. $2\sqrt{5}$
C. $4\sqrt{5}-3$
D. $2\sqrt{5}-1$
Gọi $M({{z}_{1}})$, khi đó $\left| {{z}_{1}}-2-3i \right|=1\Leftrightarrow M\in ({{C}_{1}})$ với $({{C}_{1}})$ là đường tròn tâm ${{I}_{1}}(2;3)$ và ${{R}_{1}}=1$.
Gọi $N({{z}_{2}})$, khi đó $\left| {{z}_{2}}+2+5i \right|=2\Leftrightarrow N\in ({{C}_{2}})$ với $({{C}_{2}})$ là đường tròn tâm ${{I}_{2}}(-2;-5)$ và ${{R}_{2}}=2$.
Gọi $A(z)$ và $z=x+yi$, khi đó: $\left| z-3-i \right|=\left| z-1+i \right|$
$\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}={{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}\Leftrightarrow x+y-2=0$.
Suy ra $A\in \Delta :x+y-2=0$. Ta có:
$T=AM+AN=(AM+M{{I}_{1}})+(AN+N{{I}_{2}})-3\ge A{{I}_{1}}+A{{I}_{2}}-3\ge {{I}_{1}}{{I}_{2}}-3=4\sqrt{5}-3$.
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ A \right\}={{I}_{1}}{{I}_{2}}\cap \Delta $. Vậy ${{T}_{\min }}=4\sqrt{5}-3$.
Chú ý: Ở bài toán này do ${{I}_{1}},{{\text{I}}_{2}}$ khác phía so với $\Delta $ nên dấu "=" xảy ra, nếu trường hợp cùng phía ta phải lấy thêm điểm đối xứng để chuyển về khác phía.
A. $4\sqrt{5}$
B. $2\sqrt{5}$
C. $4\sqrt{5}-3$
D. $2\sqrt{5}-1$
Gọi $M({{z}_{1}})$, khi đó $\left| {{z}_{1}}-2-3i \right|=1\Leftrightarrow M\in ({{C}_{1}})$ với $({{C}_{1}})$ là đường tròn tâm ${{I}_{1}}(2;3)$ và ${{R}_{1}}=1$.
Gọi $N({{z}_{2}})$, khi đó $\left| {{z}_{2}}+2+5i \right|=2\Leftrightarrow N\in ({{C}_{2}})$ với $({{C}_{2}})$ là đường tròn tâm ${{I}_{2}}(-2;-5)$ và ${{R}_{2}}=2$.
Gọi $A(z)$ và $z=x+yi$, khi đó: $\left| z-3-i \right|=\left| z-1+i \right|$
$\Leftrightarrow {{(x-3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}={{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}\Leftrightarrow x+y-2=0$.
Suy ra $A\in \Delta :x+y-2=0$. Ta có:
$T=AM+AN=(AM+M{{I}_{1}})+(AN+N{{I}_{2}})-3\ge A{{I}_{1}}+A{{I}_{2}}-3\ge {{I}_{1}}{{I}_{2}}-3=4\sqrt{5}-3$.
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{ A \right\}={{I}_{1}}{{I}_{2}}\cap \Delta $. Vậy ${{T}_{\min }}=4\sqrt{5}-3$.
Chú ý: Ở bài toán này do ${{I}_{1}},{{\text{I}}_{2}}$ khác phía so với $\Delta $ nên dấu "=" xảy ra, nếu trường hợp cùng phía ta phải lấy thêm điểm đối xứng để chuyển về khác phía.
Đáp án C.