Google
Câu hỏi: Giả sử tồn tại số thực a sao cho phương trình ${{e}^{x}}+{{e}^{-x}}=2\cos ax+4$ có 10 nghiệm thực phân biệt. Số nghiệm (phân biệt) của phương trình ${{e}^{x}}-{{e}^{-x}}=2\cos ax$ là
A. 5.
B. 20.
C. 10.
D. 4.
A. 5.
B. 20.
C. 10.
D. 4.
Ta có ${{e}^{x}}+{{e}^{-x}}=2\cos ax+4\Leftrightarrow {{\left( {{e}^{\dfrac{x}{2}}}-{{e}^{-\dfrac{x}{2}}} \right)}^{2}}=2\cos ax+2$
$\Leftrightarrow \left( {{e}^{\dfrac{x}{2}}}-{{e}^{-\dfrac{x}{2}}} \right)={{\left( 2\cos \dfrac{ax}{2} \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{e}^{\dfrac{x}{2}}}-{{e}^{-\dfrac{x}{2}}}=2\cos \dfrac{ax}{2}\left( 1 \right) \\
& {{e}^{\dfrac{x}{2}}}-{{e}^{-\dfrac{x}{2}}}=-2\cos \dfrac{ax}{2}\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho.
Nếu $x={{x}_{0}}$ là nghiệm của (1) thì $x=-{{x}_{0}}$ là nghiệm của (2).
Do đó số nghiệm của (1) và (2) bằng nhau và đồng thời khác nhau đôi một.
$\Rightarrow $ (1) có đúng 5 nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}};{{x}_{5}}$. Vậy phương trình ${{e}^{x}}-{{e}^{-x}}=2\cos ax$ có đúng 5 nghiệm phân biệt là $\dfrac{{{x}_{1}}}{2};\dfrac{{{x}_{2}}}{2};\dfrac{{{x}_{3}}}{2};\dfrac{{{x}_{4}}}{2};\dfrac{{{x}_{5}}}{2}$.
$\Leftrightarrow \left( {{e}^{\dfrac{x}{2}}}-{{e}^{-\dfrac{x}{2}}} \right)={{\left( 2\cos \dfrac{ax}{2} \right)}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{e}^{\dfrac{x}{2}}}-{{e}^{-\dfrac{x}{2}}}=2\cos \dfrac{ax}{2}\left( 1 \right) \\
& {{e}^{\dfrac{x}{2}}}-{{e}^{-\dfrac{x}{2}}}=-2\cos \dfrac{ax}{2}\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho.
Nếu $x={{x}_{0}}$ là nghiệm của (1) thì $x=-{{x}_{0}}$ là nghiệm của (2).
Do đó số nghiệm của (1) và (2) bằng nhau và đồng thời khác nhau đôi một.
$\Rightarrow $ (1) có đúng 5 nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}};{{x}_{3}};{{x}_{4}};{{x}_{5}}$. Vậy phương trình ${{e}^{x}}-{{e}^{-x}}=2\cos ax$ có đúng 5 nghiệm phân biệt là $\dfrac{{{x}_{1}}}{2};\dfrac{{{x}_{2}}}{2};\dfrac{{{x}_{3}}}{2};\dfrac{{{x}_{4}}}{2};\dfrac{{{x}_{5}}}{2}$.
Đáp án A.