Giả sử $S = (a; b]$ là tập nghiệm của bất phương trình...

The Knowledge · 17/12/21

Câu hỏi: Giả sử

S = (a; b]

là tập nghiệm của bất phương trình

5 x + \sqrt{6 x^{2} + x^{3} - x^{4}} \log_{2} x > (x^{2} - x) \log_{2} x + 5 + 5 \sqrt{6 + x - x^{2}} .

Khi đó

b - a

bằng
A.

\frac{1}{2}

B. 2
C.

\frac{7}{2}

D.

\frac{5}{2}

Điều kiện

{\begin{aligned} x > 0 \\ 6 + x - x^{2} > 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} x > 0 \\ - 2 \leq x \leq 3 \end{aligned}

.
Ta có

5 x + \sqrt{6 x^{2} + x^{3} - x^{4}} \log_{2} x > (x^{2} - x) \log_{2} x + 5 + 5 \sqrt{6 + x - x^{2}}

\Leftrightarrow 5 x + x \sqrt{6 + x - x^{2}} \log_{2} x > x (x - 1) \log_{2} x + 5 + 5 \sqrt{6 + x - x^{2}}

\Leftrightarrow (x - 1) (5 - x \log_{2} x) + \sqrt{6 + x - x^{2}} (x \log_{2} x - 5) > 0

\Leftrightarrow (5 - x \log_{2} x) (x - 1 - \sqrt{6 + x - x^{2}}) > 0

\Leftrightarrow [\begin{aligned} {\begin{aligned} 5 - x \log_{2} x > 0 \\ x - 1 - \sqrt{6 + x - x^{2}} > 0 \end{aligned} \\ {\begin{aligned} 5 - x \log_{2} x < 0 \\ x - 1 - \sqrt{6 + x - x^{2}} < 0 \end{aligned} \end{aligned}

* Xét hệ

(I) {\begin{aligned} 5 - x \log_{2} x > 0 (1) \\ x - 1 - \sqrt{6 + x - x^{2}} > 0 (2) \end{aligned}

Giải

(1)

Xét hàm số

f (x) = x (\frac{5}{x} - \log_{2} x) = x g (x)

với

x \in (0; 3] .

Ta có

g^{'} (x) = - \frac{5}{x^{2}} - \frac{1}{x \ln 2} < 0, \forall x \in (0; 3] .

Lập bảng biến thiên:

Vậy

f (x) = x (\frac{5}{x} - \log_{2} x) > 0, \forall x \in (0; 3] .

Xét bất phương trình

(2) :

(2) \Leftrightarrow \sqrt{6 + x - x^{2}} < x - 1

\Leftrightarrow {\begin{aligned} 6 + x - x^{2} < {(x - 1)}^{2} \\ x > 1 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} x^{2} - 3 x - 5 > 0 \\ x > 1 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} [\begin{aligned} x < - 1 \\ x > \frac{5}{2} \end{aligned} \\ x > 1 \end{aligned}

\Leftrightarrow x > \frac{5}{2} .

Vậy nghiệm của hệ

(I)

là

D = (\frac{5}{2}; 3] .

* Hệ

{\begin{aligned} 5 - x \log_{2} x < 0 \\ x - 1 - \sqrt{6 + x - x^{2}} < 0 \end{aligned}

vô nghiệm.
Vậy

S = (\frac{5}{2}; 3],

suy ra

b - a = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2} .

Đáp án A.

Giả sử S=(a;b] là tập nghiệm của bất phương trình...