Giả sử $S=\left( a;b \right]$ là tập nghiệm của bất phương trình...

Điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& 6+x-{{x}^{2}}>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>0 \\
& -2\le x\le 3 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có
$5x+\sqrt{6{{x}^{2}}+{{x}^{3}}-{{x}^{4}}}{{\log }_{2}}x>\left( {{x}^{2}}-x \right){{\log }_{2}}x+5+5\sqrt{6+x-{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 5x+x\sqrt{6+x-{{x}^{2}}}{{\log }_{2}}x>x\left( x-1 \right){{\log }_{2}}x+5+5\sqrt{6+x-{{x}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( 5-x{{\log }_{2}}x \right)+\sqrt{6+x-{{x}^{2}}}\left( x{{\log }_{2}}x-5 \right)>0$
$\Leftrightarrow \left( 5-x{{\log }_{2}}x \right)\left( x-1-\sqrt{6+x-{{x}^{2}}} \right)>0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& 5-x{{\log }_{2}}x>0 \\
& x-1-\sqrt{6+x-{{x}^{2}}}>0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& 5-x{{\log }_{2}}x<0 \\
& x-1-\sqrt{6+x-{{x}^{2}}}<0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
* Xét hệ $\left( I \right)\left\{ \begin{aligned}
& 5-x{{\log }_{2}}x>0\text{ }\left( 1 \right) \\
& x-1-\sqrt{6+x-{{x}^{2}}}>0\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Giải $\left( 1 \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=x\left( \dfrac{5}{x}-{{\log }_{2}}x \right)=xg\left( x \right)$ với $x\in \left( 0;3 \right].$
Ta có $g'\left( x \right)=-\dfrac{5}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x\ln 2}<0,\forall x\in \left( 0;3 \right].$
Lập bảng biến thiên:

Vậy $f\left( x \right)=x\left( \dfrac{5}{x}-{{\log }_{2}}x \right)>0,\forall x\in \left( 0;3 \right].$
Xét bất phương trình $\left( 2 \right):$
$\left( 2 \right)\Leftrightarrow \sqrt{6+x-{{x}^{2}}}<x-1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 6+x-{{x}^{2}}<{{\left( x-1 \right)}^{2}} \\
& x>1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-3x-5>0 \\
& x>1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x<-1 \\
& x>\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& x>1 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow x>\dfrac{5}{2}.$
Vậy nghiệm của hệ $\left( I \right)$ là $D=\left( \dfrac{5}{2};3 \right].$
* Hệ $\left\{ \begin{aligned}
& 5-x{{\log }_{2}}x<0 \\
& x-1-\sqrt{6+x-{{x}^{2}}}<0 \\
\end{aligned} \right.$ vô nghiệm.
Vậy $S=\left( \dfrac{5}{2};3 \right],$ suy ra $b-a=3-\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}.$