Google
Câu hỏi: Giả sử $n$ là một số nguyên dương thỏa mãn $3C_{n}^{2}-C_{n}^{3}=24$. Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{12}}$ trong khai triển ${{\left({{x}^{2}}\sqrt{x}-\frac{2}{x} \right)}^{n}}$ với $x>0$.
A. $672{{x}^{12}}$.
B. $-672{{x}^{12}}$.
C. $672$.
D. $-672$.
A. $672{{x}^{12}}$.
B. $-672{{x}^{12}}$.
C. $672$.
D. $-672$.
Ta có: $3C_{n}^{2}-C_{n}^{3}=24$, điều kiện: $n\ge 3$ ; $n\in \mathbb{N}$.
$3C_{n}^{2}-C_{n}^{3}=24$ $\Leftrightarrow 3\frac{n\left( n-1 \right)}{2}-\frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}=24$
$\Leftrightarrow {{n}^{3}}-12{{n}^{2}}+11n+144=0\Leftrightarrow \left( n-9 \right)\left( {{n}^{2}}-3n-16 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=9 \\
& n=\frac{3+\sqrt{73}}{2} \\
& n=\frac{3-\sqrt{73}}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Đối chiếu điều kiện ta có $n=9$ thỏa mãn.
Khi đó khai triển ${{\left( {{x}^{2}}\sqrt{x}-\frac{2}{x} \right)}^{9}}$ có số hạng tổng quát thứ $k+1$ là: ${{T}_{k+1}}=C_{9}^{k}{{\left( {{x}^{2}}\sqrt{x} \right)}^{9-k}}.{{\left( \frac{-2}{x} \right)}^{k}}=C_{9}^{k}{{\left( -2 \right)}^{k}}{{x}^{\frac{45}{2}-\frac{7k}{2}}}$ (với $k\in \mathbb{N}$, $k\le 9$ ).
Từ giả thiết ta có phương trình $\frac{45}{2}-\frac{7k}{2}=12\Leftrightarrow 7k=21\Leftrightarrow k=3.$
Vậy hệ số của số hạng chứa ${{x}^{12}}$ trong khai triển ${{\left( {{x}^{2}}\sqrt{x}-\frac{2}{x} \right)}^{9}}$ bằng $C_{9}^{3}{{\left( -2 \right)}^{3}}=-672$.
$3C_{n}^{2}-C_{n}^{3}=24$ $\Leftrightarrow 3\frac{n\left( n-1 \right)}{2}-\frac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}=24$
$\Leftrightarrow {{n}^{3}}-12{{n}^{2}}+11n+144=0\Leftrightarrow \left( n-9 \right)\left( {{n}^{2}}-3n-16 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& n=9 \\
& n=\frac{3+\sqrt{73}}{2} \\
& n=\frac{3-\sqrt{73}}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Đối chiếu điều kiện ta có $n=9$ thỏa mãn.
Khi đó khai triển ${{\left( {{x}^{2}}\sqrt{x}-\frac{2}{x} \right)}^{9}}$ có số hạng tổng quát thứ $k+1$ là: ${{T}_{k+1}}=C_{9}^{k}{{\left( {{x}^{2}}\sqrt{x} \right)}^{9-k}}.{{\left( \frac{-2}{x} \right)}^{k}}=C_{9}^{k}{{\left( -2 \right)}^{k}}{{x}^{\frac{45}{2}-\frac{7k}{2}}}$ (với $k\in \mathbb{N}$, $k\le 9$ ).
Từ giả thiết ta có phương trình $\frac{45}{2}-\frac{7k}{2}=12\Leftrightarrow 7k=21\Leftrightarrow k=3.$
Vậy hệ số của số hạng chứa ${{x}^{12}}$ trong khai triển ${{\left( {{x}^{2}}\sqrt{x}-\frac{2}{x} \right)}^{9}}$ bằng $C_{9}^{3}{{\left( -2 \right)}^{3}}=-672$.
Đáp án D.