Google
Câu hỏi: Giả sử $\mathrm{z_{1}, z_{2}}$ là hai trong số các số phức thoả mãn $|z-1-\sqrt{2}i|=1$ và $\left|z_{1}-z_{2}\right|=2$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$ bằng
A. $\mathrm{3}$.
B. $2 \sqrt{3}$.
C. $3 \sqrt{2}$.
D. $\mathrm{4}$.
Có $|z-1-\sqrt{2}i|=1$.
Vì vậy $\mathrm{M(z)}$ thì $\mathrm{M}$ thuộc đường tròn tâm $I(1 ; \sqrt{2}), R=1$.
Do đó với $A\left(z_{1}\right), B\left(z_{2}\right) \Rightarrow A B=\left|z_{1}-z_{2}\right|=2=2 R \Rightarrow I\left(\dfrac{z_{1}+z_{2}}{2}\right)$ là trung điểm của $\mathrm{A B}$.
Do đó $\left|z_{1}+z_{2}\right|=2 O I=2 \sqrt{3}$.
Khi đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz có
$\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right| \leq \sqrt{2\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)}=\sqrt{\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}}=\sqrt{(2 \sqrt{3})^{2}+2^{2}}=4$.
A. $\mathrm{3}$.
B. $2 \sqrt{3}$.
C. $3 \sqrt{2}$.
D. $\mathrm{4}$.
Có $|z-1-\sqrt{2}i|=1$.
Vì vậy $\mathrm{M(z)}$ thì $\mathrm{M}$ thuộc đường tròn tâm $I(1 ; \sqrt{2}), R=1$.
Do đó với $A\left(z_{1}\right), B\left(z_{2}\right) \Rightarrow A B=\left|z_{1}-z_{2}\right|=2=2 R \Rightarrow I\left(\dfrac{z_{1}+z_{2}}{2}\right)$ là trung điểm của $\mathrm{A B}$.
Do đó $\left|z_{1}+z_{2}\right|=2 O I=2 \sqrt{3}$.
Khi đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz có
$\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right| \leq \sqrt{2\left(\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}\right)}=\sqrt{\left|z_{1}+z_{2}\right|^{2}+\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}}=\sqrt{(2 \sqrt{3})^{2}+2^{2}}=4$.
Đáp án D.