Giả sử m là số thực thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(...

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)={31}^x\ln 31+3^x\ln 3+m$
TH1: Với $m\ge 0\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)>0(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow$ Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
TH2: Với $m<0$ thì phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff {31}^x\ln 31+3^x\ln 3=-m$
Do hàm số $y={31}^x\ln 31+3^x\ln 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow$ Phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=-m$ có nghiệm duy nhất $x=a$. Do $m<0$ thì $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty },\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$. Ta có BBT cho $f\left(x\right)$

Suy ra $\underset{\mathbb{R}}{Min}f\left(x\right)=f\left(a\right)=2$, mặt khác $f\left(0\right)=2\Rightarrow a=0$
Do đó $-m={31}^0.\ln 31+3^0.\ln 3\iff m=-\ln 31-\ln 3\approx -4,49$.