Giả sử m là số thực thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(...

Ta có ${f}'\left( x \right)={{31}^{x}}\ln 31+{{3}^{x}}\ln 3+m$
TH1: Với $m\ge 0\Rightarrow {f}'\left( x \right)>0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow $ Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
TH2: Với $m<0$ thì phương trình ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{31}^{x}}\ln 31+{{3}^{x}}\ln 3=-m$
Do hàm số $y={{31}^{x}}\ln 31+{{3}^{x}}\ln 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}\Rightarrow $ Phương trình ${f}'\left( x \right)=-m$ có nghiệm duy nhất $x=a$. Do $m<0$ thì $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=+\infty $. Ta có BBT cho $f\left( x \right)$

Suy ra $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{Min}} f\left( x \right)=f\left( a \right)=2$, mặt khác $f\left( 0 \right)=2\Rightarrow a=0$
Do đó $-m={{31}^{0}}.\ln 31+{{3}^{0}}.\ln 3\Leftrightarrow m=-\ln 31-\ln 3\approx -4,49$.