Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương...

Phương pháp:
Biến đổi rồi lấy tích phân 2 vế.
Cách giải:
Ta có: $f'\left( x \right)=\sqrt{\left( x+1 \right)f\left( x \right)}\Rightarrow \dfrac{f'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}=\dfrac{\sqrt{x+1}}{2}$
Lấy tích phân từ 3 đến 8 của hai vế ta được:
$\int\limits_{3}^{8}{\dfrac{f'\left( x \right)dx}{2\sqrt{f\left( x \right)}}}~=\int\limits_{3}^{8}{\dfrac{\sqrt{x+1}}{2}}dx~\Leftrightarrow \sqrt{f\left( x \right)}~\left| _{3}^{8} \right.=\dfrac{19}{3}$
$\Leftrightarrow \sqrt{f\left( 8 \right)}-\sqrt{f\left( 3 \right)}=\dfrac{19}{3}\Leftrightarrow \sqrt{f\left( 8 \right)}-\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{19}{3}$
$\Leftrightarrow f\left( 8 \right)={{\left( \dfrac{19}{3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\text{ } \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( 8 \right)={{\left( \dfrac{19}{3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}\text{ } \right)}^{4}}\approx 2613,261$
Vậy $2613<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2614$.