Google
Câu hỏi: Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $\left( 0;+\infty \right)$ và thỏa mãn $f\left( 1 \right)=1$, $f\left( x \right)={f}'\left( x \right)\cdot \sqrt{3x+1}$, với mọi $x>0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $3<f\left( 5 \right)<4$.
B. $1<f\left( 5 \right)<2$.
C. $4<f\left( 5 \right)<5$.
D. $2<f\left( 5 \right)<3$.
A. $3<f\left( 5 \right)<4$.
B. $1<f\left( 5 \right)<2$.
C. $4<f\left( 5 \right)<5$.
D. $2<f\left( 5 \right)<3$.
Hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục, nhận giá trị dương trên $\left( 0;+\infty \right)$ nên
$f\left( x \right)={f}'\left( x \right)\cdot \sqrt{3x+1}\Leftrightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}\Rightarrow \ln \left( f\left( x \right) \right)=\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C$.
Vì $f\left( 1 \right)=1$ nên $C=-\dfrac{4}{3}$. Suy ra $\ln \left( f\left( x \right) \right)=\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}-\dfrac{4}{3}\Rightarrow f\left( x \right)={{\text{e}}^{\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}-\dfrac{4}{3}}}$.
Vậy $f\left( 5 \right)={{\text{e}}^{\dfrac{4}{3}}}\approx 3,794\in \left( 3;4 \right)$.
$f\left( x \right)={f}'\left( x \right)\cdot \sqrt{3x+1}\Leftrightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}\Rightarrow \ln \left( f\left( x \right) \right)=\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C$.
Vì $f\left( 1 \right)=1$ nên $C=-\dfrac{4}{3}$. Suy ra $\ln \left( f\left( x \right) \right)=\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}-\dfrac{4}{3}\Rightarrow f\left( x \right)={{\text{e}}^{\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+1}-\dfrac{4}{3}}}$.
Vậy $f\left( 5 \right)={{\text{e}}^{\dfrac{4}{3}}}\approx 3,794\in \left( 3;4 \right)$.
Đáp án A.