Google
Câu hỏi: Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$ ; liên tục và nhận giá trị dương trên $\left( 0;+\infty \right)$ và thỏa mãn $f\left( 3 \right)=\dfrac{2}{3}$ và ${{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}=\left( x+1 \right).f\left( x \right)$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $2613<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2614.$
B. $2614<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2615.$
C. $2618<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2619.$
D. $2616<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2617.$
A. $2613<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2614.$
B. $2614<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2615.$
C. $2618<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2619.$
D. $2616<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2617.$
HD: Ta có ${{\left[ f'\left( x \right) \right]}^{2}}=\left( x+1 \right)f\left( x \right)\Leftrightarrow f'\left( x \right)=\sqrt{\left( x+1 \right)f\left( x \right)}=\dfrac{f'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}=\sqrt{x+1}\left( * \right)$
Lấy nguyên hàm hai vế của (*), ta được $\int{\dfrac{f'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}dx=\int{\sqrt{x+1}dx}}$
$\Leftrightarrow 2.\int{\dfrac{d\left( f\left( x \right) \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}dx=\dfrac{2}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+C\Leftrightarrow 2\sqrt{f\left( x \right)}=\dfrac{2}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+C}$
Theo bài $f\left( 3 \right)=\dfrac{2}{3}\Rightarrow 2\sqrt{f\left( 3 \right)}=\dfrac{2}{3}\sqrt{{{4}^{3}}}+C\Rightarrow C=\dfrac{2\sqrt{6}-16}{3}.$
Do đó $\sqrt{f\left( x \right)}=\dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+\dfrac{\sqrt{6}-8}{3}\Rightarrow f\left( x \right)={{\left[ \dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+\dfrac{\sqrt{6}-8}{3} \right]}^{2}}.$
Vậy $2613<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2614.$
Lấy nguyên hàm hai vế của (*), ta được $\int{\dfrac{f'\left( x \right)}{\sqrt{f\left( x \right)}}dx=\int{\sqrt{x+1}dx}}$
$\Leftrightarrow 2.\int{\dfrac{d\left( f\left( x \right) \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)}}dx=\dfrac{2}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+C\Leftrightarrow 2\sqrt{f\left( x \right)}=\dfrac{2}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+C}$
Theo bài $f\left( 3 \right)=\dfrac{2}{3}\Rightarrow 2\sqrt{f\left( 3 \right)}=\dfrac{2}{3}\sqrt{{{4}^{3}}}+C\Rightarrow C=\dfrac{2\sqrt{6}-16}{3}.$
Do đó $\sqrt{f\left( x \right)}=\dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+\dfrac{\sqrt{6}-8}{3}\Rightarrow f\left( x \right)={{\left[ \dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+\dfrac{\sqrt{6}-8}{3} \right]}^{2}}.$
Vậy $2613<{{f}^{2}}\left( 8 \right)<2614.$
Đáp án A.