Google
Câu hỏi: Giả sử hàm số $f$ liên tục trên đoạn $[0;2]$ thỏa mãn $\int\limits_{0}^{1}{f(x)\text{dx}}=6$, $\int\limits_{1}^{2}{f(x)\text{dx}}=-2$. Giá trị của tích phân $\int\limits_{0}^{{\pi }/{2} }{f(2\sin x)\cos x\text{dx}}$ là
A. $-8$.
B. $8$.
C. $4$.
D. $2$.
A. $-8$.
B. $8$.
C. $4$.
D. $2$.
Đặt $t=2\sin x$ $\Rightarrow \text{dt}=2\cos x\text{dx}$ và
Khi đó
$\int\limits_{0}^{{\pi }/{2} }{f(2\sin x)\cos x\text{dx}}$ $=\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{f(t)}{2}\text{dt}}$ $=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f(t)\text{dt}}$ $=\dfrac{1}{2}\left( \int\limits_{0}^{1}{f(t)\text{dt}}+\int\limits_{1}^{2}{f(t)\text{dt}} \right)$ $=\dfrac{1}{2}\left( 6+\left( -2 \right) \right)$ $=2$.
Vậy $\int\limits_{0}^{{\pi }/{2} }{f(2\sin x)\cos x\text{dx}}=2$
Khi đó
$\int\limits_{0}^{{\pi }/{2} }{f(2\sin x)\cos x\text{dx}}$ $=\int\limits_{0}^{2}{\dfrac{f(t)}{2}\text{dt}}$ $=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f(t)\text{dt}}$ $=\dfrac{1}{2}\left( \int\limits_{0}^{1}{f(t)\text{dt}}+\int\limits_{1}^{2}{f(t)\text{dt}} \right)$ $=\dfrac{1}{2}\left( 6+\left( -2 \right) \right)$ $=2$.
Vậy $\int\limits_{0}^{{\pi }/{2} }{f(2\sin x)\cos x\text{dx}}=2$
Đáp án D.