Giả sử hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ , thỏa...

The Funny · 25/5/23

Câu hỏi: Giả sử hàm số

f (x)

liên tục trên

R

, thỏa mãn

f (\sin x + 1) = \cos x

với mọi

x \in R

, khi đó tích phân

\int_{1}^{\frac{3}{2}} f (x) d x

bằng
A.

\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4}

.
B.

\frac{- π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}

.
C.

\frac{π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8}

.
D.

\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}

.

I = \int_{1}^{\frac{3}{2}} f (x) d x

Đặt

x = \sin t + 1 \Rightarrow d x = \cos t d t

.
Đổi cận:

x = 1 \Rightarrow t = 0; x = \frac{3}{2} \Rightarrow t = \frac{π}{6}

Khi đó

I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} f (\sin t + 1) . \cos t d t = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos t . \cos t d t = \int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{2} t d t

\Rightarrow I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} {(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2 t) d t = (\frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sin 2 t) |}_{0}^{\frac{π}{6}} = \frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}

.

Đáp án D.

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên R, thỏa...