Google
Câu hỏi: Giả sử $f\left( x \right)$ là hàm có đạo hàm liên tục trên khoảng $\left( 0;\pi \right)$ và $f'\left( x \right)\sin x=x+f\left( x \right)\cos x,\forall x\in \left( 0;\pi \right).$ Biết $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=1,f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\dfrac{1}{12}\left( a+b\ln 2+c\pi \sqrt{3} \right),$ với $a,b,c$ là các số nguyên. Giá trị $a+b+c$ bằng:
A. $-1$
B. 1
C. 11
D. $-11$
A. $-1$
B. 1
C. 11
D. $-11$
Phương pháp:
- Chuyển vế, chia cả 2 vế cho ${{\sin }^{2}}x.$
- Lấy nguyên hàm hai vế, từ đó tìm hàm $f\left( x \right).$
- Sử dụng giả thiết $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=1$ tìm hằng số $C,$ từ đó tìm $f\left( \dfrac{\pi }{6} \right).$
- Đồng nhất hệ số tìm $a,b,c$ và tính tổng $a+b+c.$
Cách giải:
Theo bài ra ta có:
$f'\left( x \right)\sin x=x+f\left( x \right)\cos x$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)\sin x-f\left( x \right)\cos x=x$
$\Leftrightarrow \dfrac{f'\left( x \right)\sin x-f\left( x \right).\left( \sin x \right)'}{{{\sin }^{2}}x}=\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}$
$\Leftrightarrow \left( \dfrac{f\left( x \right)}{\sin x} \right)'=\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta có:
$\int\limits_{{}}^{{}}{\left( \dfrac{f\left( x \right)}{\sin x} \right)'dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}\Leftrightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{\sin x}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=\dfrac{dx}{{{\sin }^{2}}x} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=-\cot x \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}=-x\cot x+\int\limits_{{}}^{{}}{\cot xdx}=-x\cot x+\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{\cos x}{\sin x}dx}$
$=-x\cot x+\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{d\left( \sin x \right)}{\sin x}}=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C$
$\Rightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{\sin x}=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C\Rightarrow f\left( x \right)=\sin x\left[ -x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C \right]$
Vì $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=1$ nên $1=\sin \dfrac{\pi }{2}\left[ -\dfrac{\pi }{2}\cot \dfrac{\pi }{2}+\ln \left| \sin \dfrac{\pi }{2} \right|+C \right]\Leftrightarrow 1=1.\left( -\dfrac{\pi }{2}.0+\ln 1+C \right)\Leftrightarrow C=1.$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\sin x\left[ -x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+1 \right]$
$\Rightarrow f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\sin \dfrac{\pi }{6}\left[ -\dfrac{\pi }{6}.\cot \dfrac{\pi }{6}+\ln \left| \sin \dfrac{\pi }{6} \right|+1 \right]$
$=\dfrac{1}{2}\left[ -\dfrac{\pi }{6}.\sqrt{3}+\ln \dfrac{1}{2}+1 \right]$
$=\dfrac{1}{12}\left( 6-6\ln 2-\pi \sqrt{3} \right)$
$\Rightarrow a=6,b=-6,c=-1$
Vậy $a+b+c=6-6-1=-1.$
- Chuyển vế, chia cả 2 vế cho ${{\sin }^{2}}x.$
- Lấy nguyên hàm hai vế, từ đó tìm hàm $f\left( x \right).$
- Sử dụng giả thiết $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=1$ tìm hằng số $C,$ từ đó tìm $f\left( \dfrac{\pi }{6} \right).$
- Đồng nhất hệ số tìm $a,b,c$ và tính tổng $a+b+c.$
Cách giải:
Theo bài ra ta có:
$f'\left( x \right)\sin x=x+f\left( x \right)\cos x$
$\Leftrightarrow f'\left( x \right)\sin x-f\left( x \right)\cos x=x$
$\Leftrightarrow \dfrac{f'\left( x \right)\sin x-f\left( x \right).\left( \sin x \right)'}{{{\sin }^{2}}x}=\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}$
$\Leftrightarrow \left( \dfrac{f\left( x \right)}{\sin x} \right)'=\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}$
Lấy nguyên hàm hai vế ta có:
$\int\limits_{{}}^{{}}{\left( \dfrac{f\left( x \right)}{\sin x} \right)'dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}\Leftrightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{\sin x}=\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv=\dfrac{dx}{{{\sin }^{2}}x} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=-\cot x \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{x}{{{\sin }^{2}}x}dx}=-x\cot x+\int\limits_{{}}^{{}}{\cot xdx}=-x\cot x+\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{\cos x}{\sin x}dx}$
$=-x\cot x+\int\limits_{{}}^{{}}{\dfrac{d\left( \sin x \right)}{\sin x}}=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C$
$\Rightarrow \dfrac{f\left( x \right)}{\sin x}=-x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C\Rightarrow f\left( x \right)=\sin x\left[ -x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+C \right]$
Vì $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=1$ nên $1=\sin \dfrac{\pi }{2}\left[ -\dfrac{\pi }{2}\cot \dfrac{\pi }{2}+\ln \left| \sin \dfrac{\pi }{2} \right|+C \right]\Leftrightarrow 1=1.\left( -\dfrac{\pi }{2}.0+\ln 1+C \right)\Leftrightarrow C=1.$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\sin x\left[ -x\cot x+\ln \left| \sin x \right|+1 \right]$
$\Rightarrow f\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\sin \dfrac{\pi }{6}\left[ -\dfrac{\pi }{6}.\cot \dfrac{\pi }{6}+\ln \left| \sin \dfrac{\pi }{6} \right|+1 \right]$
$=\dfrac{1}{2}\left[ -\dfrac{\pi }{6}.\sqrt{3}+\ln \dfrac{1}{2}+1 \right]$
$=\dfrac{1}{12}\left( 6-6\ln 2-\pi \sqrt{3} \right)$
$\Rightarrow a=6,b=-6,c=-1$
Vậy $a+b+c=6-6-1=-1.$
Đáp án A.