Giả sử $A$, $B$ là hai điểm phân biệt trên đồ thị hàm số...

Gọi $A\left( {{x}_{1}};{{2}^{3{{x}_{1}}-1}} \right)$ ; $B\left( {{x}_{2}};{{2}^{3{{x}_{2}}-1}} \right)$.
$A$ là trung điểm của đoạn thẳng $OB$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}={{x}_{1}}=\dfrac{{{x}_{O}}+{{x}_{B}}}{2}=\dfrac{{{x}_{2}}}{2} \\
& {{y}_{A}}={{2}^{3{{\text{x}}_{1}}-1}}=\dfrac{{{y}_{O}}+{{y}_{B}}}{2}=\dfrac{{{2}^{3{{\text{x}}_{2}}-1}}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}=2{{x}_{1}} \\
& {{2}^{3{{x}_{1}}-1}}=\dfrac{{{2}^{3{{x}_{2}}-1}}}{2}=\dfrac{{{2}^{6{{x}_{1}}-1}}}{2} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}=2{{x}_{1}} \\
& \dfrac{1}{4}{{2}^{6{{x}_{1}}}}-\dfrac{1}{2}{{2}^{3{{x}_{1}}}}=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{2}}=2{{x}_{1}} \\
& \left[ \begin{aligned}
& {{2}^{3{{x}_{1}}}}=0(VN) \\
& {{2}^{3{{x}_{1}}}}=2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\dfrac{1}{3} \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra: $A\left( \dfrac{1}{3};1 \right)$ và $B\left( \dfrac{2}{3};2 \right)$. Vậy $AB=\dfrac{\sqrt{10}}{3}$.