Google
Câu hỏi: Giả sử $A,B$ là hai điểm phân biệt trên đồ thị hàm số $y={{\log }_{3}}\left( 5x-3 \right)$ sao cho $A$ là trung điểm của $OB$.
Độ dài đoạn thẳng $OB$ bằng
A. $\dfrac{2\sqrt{61}}{5}$.
B. $\dfrac{\sqrt{61}}{5}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{21}}{3}$.
ĐK: $x>\dfrac{3}{5}$.
Gọi $A\left( a & ; {{\log }_{3}}\left( 5a-3 \right) \right)$ với $a>\dfrac{3}{5}$.
Do $A\left( a & ; {{\log }_{3}}\left( 5a-3 \right) \right)$ là trung điểm của $OB$ nên $\Rightarrow B\left( 2a & ; 2{{\log }_{3}}\left( 5a-3 \right) \right)$.
Mà $B$ thuộc vào đồ thị hàm số $y={{\log }_{3}}\left( 5x-3 \right)$ $\Rightarrow 2{{\log }_{3}}\left( 5a-3 \right)={{\log }_{3}}\left( 10a-3 \right)$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{\left( 5a-3 \right)}^{2}}={{\log }_{3}}\left( 10a-3 \right)$ $\Leftrightarrow {{\left( 5a-3 \right)}^{2}}=10a-3$
$\Leftrightarrow 25{{a}^{2}}-40a+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=\dfrac{6}{5} \\
& a=\dfrac{2}{5} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a=\dfrac{6}{5} $ $ \Rightarrow B\left( \dfrac{12}{5} & ; 2 \right)\Rightarrow OB=\dfrac{2\sqrt{61}}{5}$.
A. $\dfrac{2\sqrt{61}}{5}$.
B. $\dfrac{\sqrt{61}}{5}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{21}}{3}$.
ĐK: $x>\dfrac{3}{5}$.
Gọi $A\left( a & ; {{\log }_{3}}\left( 5a-3 \right) \right)$ với $a>\dfrac{3}{5}$.
Do $A\left( a & ; {{\log }_{3}}\left( 5a-3 \right) \right)$ là trung điểm của $OB$ nên $\Rightarrow B\left( 2a & ; 2{{\log }_{3}}\left( 5a-3 \right) \right)$.
Mà $B$ thuộc vào đồ thị hàm số $y={{\log }_{3}}\left( 5x-3 \right)$ $\Rightarrow 2{{\log }_{3}}\left( 5a-3 \right)={{\log }_{3}}\left( 10a-3 \right)$ $\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{\left( 5a-3 \right)}^{2}}={{\log }_{3}}\left( 10a-3 \right)$ $\Leftrightarrow {{\left( 5a-3 \right)}^{2}}=10a-3$
$\Leftrightarrow 25{{a}^{2}}-40a+12=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=\dfrac{6}{5} \\
& a=\dfrac{2}{5} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a=\dfrac{6}{5} $ $ \Rightarrow B\left( \dfrac{12}{5} & ; 2 \right)\Rightarrow OB=\dfrac{2\sqrt{61}}{5}$.
Đáp án A.